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冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)·對數(shù)及其運算法則·教案
冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)·對數(shù)及其運算法則·教案 教學(xué)目標 1．理解并記憶對數(shù)的定義，對數(shù)與指數(shù)的互化，對數(shù)恒等式及對數(shù)的性質(zhì)． 2．理解并掌握對數(shù)運算法則的內(nèi)容及推導(dǎo)過程． 3．熟練運用對數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)運算法則解題． 教學(xué)重點與難點 重點是對數(shù)定義、對數(shù)的性質(zhì)和運算法則．難點是對數(shù)定義中涉及較多的難以記憶的名稱，以及運算法則的推導(dǎo)． 教學(xué)過程設(shè)計 師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2％，求20年后國民生產(chǎn)總值是原來的多少倍？ 生：設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，則20年后國民生產(chǎn)總值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后國民生產(chǎn)總值是原來的1.07220倍． 師：這是個實際應(yīng)用問題，我們把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中知道底數(shù)和指數(shù)，求冪值的問題．也就是上面學(xué)習(xí)的指數(shù)問題． 師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2％，問經(jīng)過多年年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍？ 師：（分析）仿照上例，設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，需經(jīng)x年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍．列方程 1.072x=4． 我們把這個應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為知道底數(shù)和冪值，求指數(shù)的問題，這是上述問題的逆問題，即本節(jié)的對數(shù)問題． 師：（板書）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，就是ab=N，那么數(shù)b就叫做以a為底N的對數(shù)，記作 logaN=b， 其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)，式子logaN叫做對數(shù)式． 師：請同學(xué)談?wù)剬?shù)這個定義的認識． 生：對數(shù)式logaN實際上就是指數(shù)式中的指數(shù)b的一種新的記法． 生：對數(shù)是一種新的運算．是知道底和冪值求指數(shù)的運算． （此刻并不奢望學(xué)生能說出什么深刻認識，只是給他們自己一個去思維認識對數(shù)這個定義的機會．） 師：他們說得都非常好．實際上ab=N這個式子涉及到了三個量a，b，N，由方程的觀點可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面學(xué)過的指數(shù)運算；知道b（為自然數(shù)時），N可求a，即初中學(xué)過的開 記作logaN=b．因此，對數(shù)是一種新的運算，一種知道底和冪值求指數(shù)的運算．而每學(xué)一種新的運算，首先要學(xué)習(xí)它的記法，對數(shù)運算的記法為logaN，讀作：以a為底N的對數(shù)．請同學(xué)注意這種運算的寫法和讀法． 師：實際上指數(shù)與對數(shù)只是數(shù)量間的同一關(guān)系的兩種不同形式．為了更深入認識并記憶對數(shù)這個概念，請同學(xué)們填寫下列表格．（打出幻燈） 式子 名稱 a b N 指數(shù)式 對數(shù)式 ab=N logaN=b 練習(xí)1 把下列指數(shù)式寫成對數(shù)形式： 練習(xí)2 把下列對數(shù)形式寫成指數(shù)形式： 練習(xí)3 求下列各式的值： （兩名學(xué)生板演練習(xí)1，2題（過程略），一生板演練習(xí)三．） 因為22=4，所以以2為底4的對數(shù)等于2． 因為53=125，所以以5為底125的對數(shù)等于3． （注意糾正學(xué)生的錯誤讀法和寫法．） 師：由定義，我們還應(yīng)注意到對數(shù)式logaN=b中字母的取值范圍是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 師：N∈R？（這是學(xué)生最易出錯的地方，應(yīng)一開始讓學(xué)生牢牢記住真數(shù)大于零．） 生：由于在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，因而ab=N中N總是正數(shù)． 師：要特別強調(diào)的是：零和負數(shù)沒有對數(shù)． 師：定義中為什么規(guī)定a＞0，a≠1？ （根據(jù)本班情況決定是否設(shè)置此問．） 生：因為若a＜0，則N取某些值時，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，則當(dāng)N不為0時，b不存在，如log02不存在；當(dāng)N為0時，b可以為任何正數(shù)，是不唯一的，即log00有無數(shù)個值；若a=1，N不為1時，b不存在，如log13不存在，N為1時，b可以為任何數(shù)，是不唯一的，即log11有無數(shù)多個值．因此，我們規(guī)定：a＞0，a≠1． （此回答能培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想．這個問題從ab=N出發(fā)回答較為簡單．） 師：下面我來介紹兩個在對數(shù)發(fā)展過程中有著重要意義的對數(shù)． 師：（板書）對數(shù)logaN（a＞0且a≠1）在底數(shù)a=10時，叫做常用對數(shù)，簡記lgN；底數(shù)a=e時，叫做自然對數(shù)，記作lnN，其中e是個無理數(shù)，即e≈2.718 28……． 練習(xí)4 計算下列對數(shù)： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 師：請同學(xué)說出結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想． 生：2log24=4．這是因為log24=2，而22=4． 生：3log327=27．這是因為log327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． 師：非常好．這就是我們下面要學(xué)習(xí)的對數(shù)恒等式． 師：（板書） alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用紅筆在字母取值范圍下畫上曲線） （再次鼓勵學(xué)生，并提出更高要求，給出嚴格證明．） （學(xué)生討論，并口答．） 生：（板書） 證明：設(shè)指數(shù)等式ab=N，則相應(yīng)的對數(shù)等式為logaN=b，所以ab=alogaN=N． 師：你是根據(jù)什么證明對數(shù)恒等式的？ 生：根據(jù)對數(shù)定義． 師：（分析小結(jié)）證明的關(guān)鍵是設(shè)指數(shù)等式ab=N．因為要證明這個對數(shù)恒等式，而現(xiàn)在我們有關(guān)對數(shù)的知識只有定義，所以顯然要利用定義加以證明．而對數(shù)定義是建立在指數(shù)基礎(chǔ)之上的，所以必須先設(shè)出指數(shù)等式，從而轉(zhuǎn)化成對數(shù)等式，再進行證明． 師：掌握了對數(shù)恒等式的推導(dǎo)之后，我們要特別注意此等式的適用條件． 生：a＞0，a≠1，N＞0． 師：接下來觀察式子結(jié)構(gòu)特點并加以記憶． （給學(xué)生一分鐘時間．） 師：（板書）2log28=？2log42=？ 生：2log28=8；2log42=2． 師：第2題對嗎？錯在哪兒？ 師：（繼續(xù)追問）在運用對數(shù)恒等式時應(yīng)注意什么？ （經(jīng)歷上面的錯誤，使學(xué)生更牢固地記住對數(shù)恒等式．） 生：當(dāng)冪的底數(shù)和對數(shù)的底數(shù)相同時，才可以用公式 alogaN=N． （師用紅筆在兩處a上重重地描寫．） 師：最后說說對數(shù)恒等式的作用是什么？ 生：化簡！ 師：請打開書74頁，做練習(xí)4． （生口答．略） 師：對對數(shù)的定義我們已經(jīng)有了一定認識，現(xiàn)在，我們根據(jù)定義來進一步研究對數(shù)的性質(zhì)． 師：負數(shù)和零有沒有對數(shù)？并說明理由． 生：負數(shù)和零沒有對數(shù)．因為定義中規(guī)定a＞0，所以不論b是什么數(shù)，都有ab＞0，這就是說，不論b是什么數(shù)，N=ab永遠是正數(shù)．因此，由等式b=logaN可以看到，負數(shù)和零沒有對數(shù)． 師：非常好．由于對數(shù)定義是建立在指數(shù)定義的基礎(chǔ)之上，所以我們要充分利用指數(shù)的知識來研究對數(shù)． 師：（板書）性質(zhì)1：負數(shù)和零沒有對數(shù)． 師：1的對數(shù)是多少？ 生：因為a0=1（a＞0，a≠1），所以根據(jù)對數(shù)定義可得1的對數(shù)是零． 師：（板書）1的對數(shù)是零． 師；底數(shù)的對數(shù)等于多少？ 生：因為a1=a，所以根據(jù)對數(shù)的定義可得底數(shù)的對數(shù)等于1． 師：（板書）底數(shù)的對數(shù)等于1． 師：給一分鐘時間，請牢記這三條性質(zhì)． 師：在初中，我們學(xué)習(xí)了指數(shù)的運算法則，請大家回憶一下． 生：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am·an=am+n．同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即am÷an=am-n．還有（am）n=amn； 師：下面我們利用指數(shù)的運算法則，證明對數(shù)的運算法則．（板書） （1）正因數(shù)積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個因數(shù)的對數(shù)的和．即 loga（MN）=logaM+logaN． （請兩個同學(xué)讀法則（1），并給時間讓學(xué)生討論證明．） 師：（分析）我們要證明這個運算法則，用眼睛一瞪無從下手，這時我們該想到，關(guān)于對數(shù)我們只學(xué)了定義和性質(zhì)，顯然性質(zhì)不能證明此式，所以只有用定義證明．而對數(shù)是由指數(shù)加以定義的，顯然要利用指數(shù)的運算法則加以證明，因此，我們首先要把對數(shù)等式轉(zhuǎn)化為指數(shù)等式． 師：（板書）設(shè)logaM=p，logaN=q，由對數(shù)的定義可以寫成M=ap，N=aq．所以 M·N=ap·aq=ap+q， 所以 loga（M·N）=p+q=logaM+logaN． 即 loga（MN）=logaM+logaN． 師：這個法則的適用條件是什么？ 生：每個對數(shù)都有意義，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1． 師：觀察法則（1）的結(jié)構(gòu)特點并加以記憶． 生：等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是一個降級運算． 師：非常好．例如，（板書）log2（32×64）=？ 生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11． 師：通過此例，同學(xué)應(yīng)體會到此法則的重要作用——降級運算．它使計算簡化． 師：（板書）log62+log63=？ 生：log62+log63=log6（2×3）=1． 師：正確．由此例我們又得到什么啟示？ 生：這是法則從右往左的使用．是升級運算． 師：對．對于運算法則（公式），我們不僅要會從左往右使用，還要會從右往左使用．真正領(lǐng)會法則的作用！ 師：（板書）（2）兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)． 師：仿照研究法則（1）的四個步驟，自己學(xué)習(xí)． （給學(xué)生三分鐘討論時間．） 生：（板書）設(shè)logaM=p，logaN=q．根據(jù)對數(shù)的定義可以寫成M=ap，N=aq．所以 師：非常好．他是利用指數(shù)的運算法則和對數(shù)的定義加以證明的．大家再想一想，在證明法則（2）時，我們不僅有對數(shù)的定義和性質(zhì)，還有法則（1）這個結(jié)論．那么，我們是否還有其它證明方法？ 生：（板書） 師：非常漂亮．他是運用轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，借助于剛剛證明的法則（1）去證明法則（2）．他的證法要比書上的更簡單．這說明，轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，在化難為易、化復(fù)雜為簡單上的重要作用．事實上，這種思想不但在學(xué)習(xí)新概念、新公式時常常用到，而且在解題中的應(yīng)用更加廣泛． 師：法則（2）的適用條件是什么？ 生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1． 師：觀察法則（2）的結(jié)構(gòu)特點并加以記憶． 生：等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個降級運算，從右往左是一個升級運算． 師：（板書）lg20-lg2=？ 師：可見法則（2）的作用仍然是加快計算速度，也簡化了計算的方法． 師：（板書） 例1 計算： 生：（板書） 解 （1）log93+log927=log93×27=log981=2； （3）log2（4+4）=log24+log24=4； （由學(xué)生判對錯，并說明理由．） 生：第（2）題錯！在同底的情況下才能運用對數(shù)運算法則．（板書） 生：第（3）題錯！法則（1）的內(nèi)容是： 生：第（4）題錯！法則（2）的內(nèi)容是： 師：通過前面同學(xué)出現(xiàn)的錯誤，我們在運用對數(shù)運算法則時要特別注意什么？ 生：首先，在同【冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)·對數(shù)及其運算法則·教案】相關(guān)文章：
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