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考研數(shù)學(xué) 注重線代知識(shí)點(diǎn)間的銜接
中國(guó)大學(xué)網(wǎng)考研頻道＞＞考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，根據(jù)考研專家多年來(lái)對(duì)考研數(shù)學(xué)命題的分析發(fā)現(xiàn)，線性代數(shù)的命題重點(diǎn)，除了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的注重外，還偏向于知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換。舉例來(lái)說，設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB＝0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax＝0的解，再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系，可以有r(B)≤n－r(A)即r(A)＋r(B)≤n，進(jìn)而可求矩陣A或B中的一些參數(shù)。
再如，若A是n階矩陣可以相似對(duì)角化，那么，用分塊矩陣處理P－1AP＝∧可知A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，P就是由A的線性無(wú)關(guān)的特征向量所構(gòu)成，再由特征向量與基礎(chǔ)解系間的聯(lián)系可知此時(shí)若λi是ni重特征值，則齊次方程組(λiE－A)x＝0的基礎(chǔ)解系由ni個(gè)解向量組成，進(jìn)而可知秩r(λiE－A)＝n－ni，那么，如果A不能相似對(duì)角化，則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE－A)＜n－ni，若A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則因A必能相似對(duì)角化而知對(duì)每個(gè)特征值λi必有r(λiE－A)＝n－ni，此時(shí)還可以利用正交性通過正交矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)相似對(duì)角化。
又比如，對(duì)于n階行列式我們知道：若|A|＝0，則Ax＝0必有非零解，而Ax＝b沒有惟一解(可能有無(wú)窮多解，也可能無(wú)解)，而當(dāng)|A|≠0時(shí)，可用克萊姆法則求Ax＝b的惟一解；可用|A|證明矩陣A是否可逆，并在可逆時(shí)通過伴隨矩陣來(lái)求A－1；對(duì)于n個(gè)n維向量α1，α2，……αn可以利用行列式|A|＝|α1α2……αn|是否為零來(lái)判斷向量組的線性相關(guān)性；矩陣A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數(shù)來(lái)定義的，若r(A)＜r，則A中r階子式全為0；求矩陣A的特征值，可以通過計(jì)算行列式|λE－A|，若λ＝λ0是A的特征值，則行列式|λ0E－A|＝0；判斷二次型xTAx的正定性，可以用順序主子式全大于零。
凡此種種，正是因?yàn)榫�性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，同學(xué)們整理時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問自己做得對(duì)不對(duì)？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。
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