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構(gòu)造組合模型巧證組合恒等式 論文
證明組合恒等式，一般是利用組合數(shù)的性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理等，通過一些適當(dāng)?shù)挠?jì)算或化簡來完成．但是，很多組合恒等式，也可直接利用組合數(shù)的意義來證明．即構(gòu)造一個(gè)組合問題的模型，把等式兩邊看成同一組問題的兩種計(jì)算方法，由解的唯一性，即可證明組合恒等式．
例１證明Ｃｎｍ＝Ｃｎｍ－１＋Ｃｎ－１ｍ－１．
分析：原式左端為ｍ個(gè)元素中取ｎ個(gè)的組合數(shù)．原式右端可看成是同一問題的另一種算法：把滿足條件的組合分為兩類，一類為不取某個(gè)元素ａ１，有Ｃｎｍ－１種取法．一類為必�。幔庇校茫睿保恚狈N取法．由加法原理可知原式成立．
例２證明Ｃｎｍ·Ｃｐｎ＝Ｃｐｍ·Ｃｎ－ｐｍ－ｐ．
分析：原式左端可看成一個(gè)班有ｍ個(gè)人，從中選出ｎ個(gè)人打掃衛(wèi)生，在選出的ｎ個(gè)人中，ｐ人打掃教室，余下的ｎ－ｐ人打掃環(huán)境衛(wèi)生的選法數(shù)．原式右端可看成直接在ｍ人中選出ｐ人打掃教室，在余下的ｍ－ｐ人中再選出ｎ－ｐ人打掃環(huán)境衛(wèi)生．顯然，兩種算法計(jì)算的是同一個(gè)問題，結(jié)果當(dāng)然是一致的．
以上兩例雖然簡單，但它揭示了用組合數(shù)的意義證明組合恒等式的一般思路：先由恒等式中意義比較明顯的一邊構(gòu)造一個(gè)組合問題的模型，再根據(jù)加法原理或乘法原理對另一邊進(jìn)行分析．若是幾個(gè)數(shù)（組合數(shù)）相加的形式，可以把構(gòu)造的組合問題進(jìn)行適當(dāng)分類，如例１，若是幾個(gè)數(shù)（組合數(shù)）相乘的形式，則應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆植接?jì)算，如例２，當(dāng)然，很多情況下是兩者結(jié)合使用的．
例３證明Ｃｋｍ＋ｎ＝Ｃ０ｍＣｋｎ＋Ｃ１ｍＣｋ－１ｎ＋Ｃ２ｍＣｋ－２ｎ＋…＋ＣｋｍＣ０ｎ，其中當(dāng)ｐ＞ｑ時(shí)Ｃｐｑ＝０．
證明：原式左邊為ｍ＋ｎ個(gè)元素中選ｋ個(gè)元素的組合數(shù)．今將這ｍ＋ｎ個(gè)元素分成兩組，第一組為ｍ個(gè)元素，剩下的ｎ個(gè)元素為第二組，把取出的ｋ個(gè)元素，按在第一組取出的元素個(gè)數(shù)ｉ（ｉ＝０，１，２，…，ｋ）進(jìn)行分類，這一類的取法數(shù)為ＣｉｍＣｋ－ｉｎ．于是，在ｍ＋ｎ個(gè)元素中�。雮�(gè)元素的取法數(shù)又可寫成?ｋｉ＝０ＣｉｍＣｋ－ｉｎ．故原式成立．
例４證明
Ｃｎｎ＋Ｃｎｎ＋１＋Ｃｎｎ＋２＋…＋Ｃｎｎ＋ｍ＝Ｃｎ＋１ｎ＋ｍ＋１．
證明：原式右邊為ｍ＋ｎ＋１個(gè)元素中�。睿眰�(gè)，元素的組合數(shù)，不失一般性，可以認(rèn)為是在１，２，３，…，ｍ＋ｎ，ｍ＋ｎ＋１，共ｍ＋ｎ＋１個(gè)數(shù)中�。睿眰�(gè)數(shù)．將取出的ｎ＋１個(gè)數(shù)ａ１，ａ２…，ａｎ＋１由小到大排列，即設(shè)ａ１＜ａ２＜ａｎ＋１，按取出的最大數(shù)ａｎ＋１＝ｋ＋１分類，顯然ｋ＝ｎ，ｎ＋１，…，ｎ＋ｍ．當(dāng)ｋ＝ｎ＋ｉ時(shí)（ｉ＝０，１，２，…，ｍ），這一類取法數(shù)為Ｃｎｎ＋ｉ，所以取法總數(shù)又等于?ｍｉ＝０Ｃｎｎ＋ｉ．原式成立．
對于某些組合恒等式，有時(shí)其左右兩邊所表示的意義都不易看出，但是如果根據(jù)組合數(shù)的特點(diǎn)仔細(xì)分析，或?qū)υ竭M(jìn)行一些適當(dāng)?shù)淖冃危梢郧擅畹貥?gòu)造一個(gè)組合問題做為模型，證明就可化難為易．
例５證明Ｃ１ｎ＋２Ｃ２ｎ＋３Ｃ３ｎ＋…＋ｎＣｎｎ＝ｎ２ｎ－１．
分析：注意，原式左端等價(jià)于Ｃ１１Ｃ１ｎ＋Ｃ１２Ｃ２ｎ＋…＋Ｃ１ｎ
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