化抽象為直觀，由感性到理性

——圓面積教學(xué)的嘗試

    圓是小學(xué)數(shù)學(xué)幾何圖形教學(xué)的最后一部分內(nèi)容。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了直線圖形以及圓的認(rèn)識(shí)和周長(zhǎng)之后進(jìn)行 的。在此之前，學(xué)生雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形、三角形、梯形等幾何圖形知識(shí)，但是在圓的面積公式教 學(xué)中，涉及到以直代曲的轉(zhuǎn)化過(guò)程及極限的思想，認(rèn)識(shí)進(jìn)入了一個(gè)新的領(lǐng)域，這對(duì)于抽象思維能力較低的小學(xué) 生來(lái)說(shuō)，是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，我采用直觀演示法進(jìn)行教學(xué)，化抽象為直觀，用極限的思想展 示以直代曲的轉(zhuǎn)化過(guò)程，使學(xué)生對(duì)圓面積公式的推導(dǎo)有一鮮明、正確的感性認(rèn)識(shí)。下面談?wù)勎覍?duì)這一內(nèi)容的教 學(xué)設(shè)想。

    一、分割圓面，認(rèn)識(shí)曲直關(guān)系

    1.教師演示。將一個(gè)圓對(duì)折兩次，并沿折痕剪開(kāi)，貼在黑板上，如圖（1）所示。指導(dǎo)學(xué)生分析觀察，并設(shè) 問(wèn)：（1）圖1 是由哪些線組成的？（2）這些線與圓的半徑和周長(zhǎng)有何關(guān)系？

    附圖{圖}

    圖（1）

    接著再將圖（1）中的四個(gè)圖形分別對(duì)折、剪開(kāi)并貼在黑板上， 如圖（2）所示。

    附圖{圖}

    圖（2）

    指導(dǎo)學(xué)生觀察分析并回答：比較圖（1）與圖（2），有何異同？半徑變了沒(méi)有？周長(zhǎng)變了沒(méi)有？隨著圓等 分份數(shù)的增加，圓周曲線的彎度有什么變化？

    通過(guò)教師的演示，使學(xué)生初步觀察并感知到隨著圓等分份數(shù)的增多，曲線逐漸變“直”了。

    2.學(xué)生操作。教師指導(dǎo)學(xué)生按以上操作，將圓等分，觀察圓的曲線變化的情況，折剪次數(shù)盡可能多一些。 在學(xué)生操作和觀察的基礎(chǔ)上，教師啟發(fā)學(xué)生思考：如果將圓不斷等分下去，這個(gè)圓所等分的圓弧組成的曲線最 終將變成什么樣子？在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師小結(jié)：如果我們把一個(gè)圓等分成很多近似的等腰三角形排起來(lái) ，等分得越細(xì)，圍成圓的那條曲線就越接近于直線。通過(guò)以上講解，為學(xué)生理解課本中：“等分的份數(shù)越多， 拼成的圖形就越接近于長(zhǎng)方形”奠定了基礎(chǔ)。同時(shí)，在學(xué)生的動(dòng)手操作中自然而然地滲透了“極限”的思想。

    二、用三角形拼組圓，進(jìn)一步理解曲直關(guān)系

    在以上教學(xué)的基礎(chǔ)上，可用三角形拼組圓，使學(xué)生進(jìn)一步理解曲線和直線在一定條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的 。

    附圖{圖}

    圖（3）

    按圖（3）所示，讓每一個(gè)學(xué)生拿出一張長(zhǎng)方形紙， 沿其對(duì)邊中點(diǎn)的連線對(duì)折兩次，成一小正方形；再以 正方形雙層邊的交點(diǎn)為頂點(diǎn)對(duì)折，成一直角三角形。又以原頂點(diǎn)，將雙層直角邊和斜邊對(duì)折，重復(fù)對(duì)折數(shù)次， 成一疊三角形，然后剪去單層邊，使之成為一疊等腰三角形，最后全部展開(kāi)，形成一個(gè)“近似圓”，如圖（4） 所示。

    附圖{圖}

    圖（4）

    引導(dǎo)學(xué)生觀察這個(gè)“近似圓”，問(wèn)學(xué)生：

    （1）這個(gè)“近似圓”是由許多什么圖形拼成的？

    （2）如果折的次數(shù)越多， 形成的“近似圓”的三角形的底邊將越短，它們所組成的圖形越接近于什么圖 形？

    在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：如果所組成的小三角形的個(gè)數(shù)越多，由這些小三角形底邊所 圍成的“近似圓”就越接近于圓。這里再次滲透了“極限”思想，說(shuō)明直線在一定條件下可以轉(zhuǎn)化成曲線，為 “圓面積”計(jì)算公式的推導(dǎo)打下基礎(chǔ)。

    三、通過(guò)把圓分割拼組成“近似長(zhǎng)方形”的演示，推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式

[1] [2] 

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