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高三數(shù)學(xué)拋物線練習(xí)題
1.已知拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程為y=1，則a的值為
()
A.4 B.-14
C.-4 D.14
答案：B
2.(2013四川)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)到直線x-3y=0的距離是
()
A.23 B.2
C.3 D.1
解析：由拋物線方程知2p=8p=4，故焦點(diǎn)F(2,0)，由點(diǎn)到直線的距離公式知，F(xiàn)到直線x-3y=0的距離d=|2-30|1+3=1.故選D.
答案：D
3.設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足.如果直線AF的斜率為-3，那么|PF|等于
()
A.43 B.8
C.83 D.16
解析：設(shè)Py28，y，則A(-2，y)，
由kAF=-3，即y-0-2-2=-3
得y=43，
|PF|=|PA|=y28+2=8.
答案：B
4.(2013山東)拋物線C1：y=12px2(p0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：x23-y2=1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p=
()
A.316 B.38
C.233 D.433
解析：設(shè)拋物線C1的焦點(diǎn)為F，則F0，p2.
設(shè)雙曲線C2的右焦點(diǎn)為F1，則F1(2,0).
直線FF1的方程為y=-p4x+p2，設(shè)Mx0，x202p，因?yàn)镸在直線FF1上，x202p=-p4x0+p2.①
∵y=12px2，y=1px，C1在M點(diǎn)處的切線斜率為1px0，又x23-y2=1的漸近線方程為y=33x，故由題意得1px0=33，②
將①、②聯(lián)立得p=433，故選D.
答案：D
5.若拋物線的焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________.
解析：x-2y-4=0與兩軸的交點(diǎn)為(0，-2)，(4,0)
方程y2=16x，x2=-8y.
答案：y2=16x或x2=-8y
6.已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)M與該拋物線的焦點(diǎn)F的距離|MF|=4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=________.
解析：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為x=-1.根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為4，則M的橫坐標(biāo)為3.
答案：3
7.(2013安徽)已知直線y=a交拋物線y=x2于A，B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為________.
解析：法一：如圖，以(0，a)為圓心，a為半徑作圓，當(dāng)圓與拋物線有三個(gè)或四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，C存在.
聯(lián)立y=x2，x2+(y-a)2=a有(y-a)(y-a+1)=0.
即y=a或y=a-1.故a-10，即a1.
法二：當(dāng)C與原點(diǎn)重合時(shí)，ACB最小.故若存在C使得ACB為直角，則2，即OAOB0，故a2-a0，又a0，所以a1.
答案：[1，+)
8.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為135的直線，被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為8，試求拋物線方程.
解：如圖，依題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0)，
則直線方程為y=-x+12p.
設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則由拋物線定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+p2+x2+p2，
即x1+p2+x2+p2=8.①
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線和直線的交點(diǎn)，
由y=-x+12p，y2=2px，消去y得x2-3px+p24=0.
x1+x2=3p.
將其代入①得p=2，所求拋物線方程為y2=4x.
當(dāng)拋物線方程設(shè)為y2=-2px時(shí)，同理可求得拋物線方程為y2=-4x.
綜上，拋物線的方程為y2=4x.
9.(2014河南洛陽(yáng)期中考試)已知拋物線C：x2=2py(p0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線y=x與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)O、N，且|ON|=42.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若直線l過點(diǎn)F交拋物線于不同的兩點(diǎn)A，B，交x軸于點(diǎn)M，且MA=aAF，MB=bBF，對(duì)任意的直線l，a+b是否為定值?若是，求出a+b的值;否則，說明理由.
解：(1)聯(lián)立方程y=xx2=2py得x2-2px=0，故O(0,0)，N(2p,2p)，|ON|=4p2+4p2=22p，
由22p=42得p=2，拋物線C的方程為x2=4y.
(2)顯然直線l的斜率一定存在且不等于零，設(shè)其方程為y=kx+1，則直線l與x軸交點(diǎn)為M-1k，0
記點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y=kx+1x2=4y得x2-4kx-4=0，
=(4k)2-(-16)=16(k2+1)0，
x1+x2=4k，x1x2=-4.
由MA=aAF，得x1+1k，y1=a(-x1,1-y1)，
a=y11-y1=-kx1+1kx1，同理可得b=-kx2+1kx2，
a+b=-kx1+1kx1+kx2+1kx2=-2+x2+x1kx1x2
=-1，
對(duì)任意的直線l，a+b為定值-1.
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