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不等式的證明
不等式的證明不等式的證明，基本方法有
比較法：(1)作差比較法
(2)作商比較法
綜合法：用到了均值不等式的知識(shí)，一定要注意的是一正二定三相等的方法的使用。
分析法：當(dāng)無法從條件入手時(shí)，就用分析法去思考，但還是要用綜合法去證明。兩個(gè)方法是密不可分的。
換元法：把不等式想象成三角函數(shù)，方便思考
反證法：假設(shè)不成立，但是不成立時(shí)又無法解出本題，于是成立
放縮法：
用柯西不等式證。等等……
高考不是重點(diǎn)，但是難點(diǎn)。
大學(xué)數(shù)學(xué)也會(huì)講到柯西不等式。
不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。
一、不等式的初等證明方法
1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>
2.分析法：執(zhí)果索因�；静襟E：要證..只需證..，只需證..
(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。
(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。
3.反證法：正難則反。
4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：
(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：
(2)利用基本不等式，如
3)將分子或分母放大(或縮小)：
5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題
化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。
6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。
7.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究。
8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。
9.函數(shù)法：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。
10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來證明一些不等式的方法。當(dāng) a>0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當(dāng) a<0時(shí)，f(x)>0(或< 0).△>0(或< 0)。
二、部分方法的例題
1.換元法
換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。
注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛危质阶優(yōu)檎�，無理式變?yōu)橛欣硎剑芎?jiǎn)化證明過程。尤其對(duì)含有若干個(gè)變?cè)凝R次輪換式或輪換對(duì)稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。
2.放縮法
欲證 A≥B，可將 B適當(dāng)放大，即 B1≥B，只需證明 A≥B1。相反，將 A適當(dāng)縮小，即 A≥A1，只需證明 A1≥B即可。
注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。
3.幾何法
數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。
注意：這類方法對(duì)幾何的熟悉程度以及幾何與代數(shù)的相互聯(lián)系能力要求比較高。
每一種不等式的證明方法基本上都有一種固定的模式可以去對(duì)比，但數(shù)學(xué)的特點(diǎn)就在于它的靈活性非常強(qiáng)，所以不等式的證明中的題目會(huì)有很多種變化，這對(duì)學(xué)習(xí)者的要求是非常高的，這就需要我們?cè)诮窈蟮?u>學(xué)習(xí)中多總結(jié)、歸納，才能達(dá)到我們學(xué)習(xí)的效果。具體解題時(shí)，一定要認(rèn)真審題，緊緊抓住題目的所有條件不放，不要忽略了任何一個(gè)條件。一道題和一類題之間有一定的共性，可以想想這一類題的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住這一道題的特殊性，抓住這一道題與這一類題不同的地方。數(shù)學(xué)的題目幾乎沒有相同的，總有一個(gè)或幾個(gè)條件不盡相同，因此思路和解題過程也不盡相同。有些同學(xué)對(duì)于老師講過的題會(huì)做，其他的題就不會(huì)做，只會(huì)依樣畫瓢，題目有些小的變化就無從下手。當(dāng)然，做題先從哪兒下手是一件棘手的事，不一定找得準(zhǔn)。但是，做題一定要抓住其特殊性則絕對(duì)沒錯(cuò)。選擇一個(gè)或幾個(gè)條件作為解題的突破口，看由這個(gè)條件能得出什么，得出的越多越好，然后從中選擇與其他條件有關(guān)的，或與結(jié)論有關(guān)的，或與題目中的隱含條件有關(guān)的，進(jìn)行推理或演算。一般難題都有多種解法，俗話說，條條大路通羅馬。要相信利用這道題的條件，加上自己學(xué)過的那些知識(shí)，一定能推出正確的結(jié)論。
數(shù)學(xué)題目是無限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法，就能順利地應(yīng)對(duì)那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關(guān)鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時(shí)間，這一點(diǎn)在考試時(shí)間有限時(shí)顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。
解題需要豐富的知識(shí)，更需要自信心。沒有自信就會(huì)畏難，就會(huì)放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會(huì)輕言放棄，才會(huì)加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來屬于自己的春天。
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