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利用定義來計算函數(shù)的定積分

時間:2023-04-30 16:33:14 資料 我要投稿
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利用定義來計算函數(shù)的定積分

利 用 定 義 來 計 算 函數(shù) 的 定 積 分

◆王 茜 劉 光 榮

( 空軍工程大學理學院應(yīng)用數(shù)學物理系)

【 摘要】定積分的概念 是用極 限來 定義的 , 有很 強的 思想性。用 定

義 計 算 定積 分 是 教 學 中的 一 個 難 點 。 這 里 給 出 用 定 義 計 算 定 積 分  的 方 法 和 步驟 , 舉例 說 明借 助 定 義 來計 算 的 函數(shù) 類 型 , 即冪 函 數(shù) ; 指

數(shù) 函數(shù) ; 角函 數(shù) 。 三

…于函數(shù)_  : Cab ,I f  :. 區(qū)間 l,】 廠 )。 l l ) () r ( t j l 在 口6上可積 。 所

,

以將 區(qū) 間 l6 等 分 。分 點 為 口  (一 )f 1, n , 小 區(qū) 間  a  , + 6 n (= ,…,) 2

【 關(guān)鍵 詞 】定 積 分

冪 函數(shù)

指 數(shù) 函數(shù)

三 角 函數(shù)

l+ (一 ) n  6 口

k( ‘b

nI 長度  : )的

,取 小區(qū) 問 的右端 點

在 初 學 定 積 分 的 概 念 與 性 質(zhì) 之 后 , 沒 有 學 習微 積 分 基 本 公  還 式 時 , 們 遇 到 了定 積 分 的計 算 問題 , 取 的 方 法 使 用 定 義 和 幾 何  我 采

+( n 于 r :m ba +( 訓    , 是     百 -      —, l ̄   — i   一

意義來計算 , 而利用幾何 意義求 定積 分要求必 須是 特殊 的曲邊梯  形 , 如是 圓 , 例 三角形 等 , 即必須是可利用公 式求 出圖形 的面積的 ;   或是關(guān)于原點對稱的區(qū) 間上的被 積 函數(shù) 是奇 函數(shù) 的積分 , 結(jié)果 為  零 。利用定積分的定義解 題過程 有一定 的模式 , 面臨一 個和式  要 的極限來處理 , 本文就是 來 明確 一下 用定 義計算定 積分 的函數(shù) 的

類型 。   1用定 義計 算 定積 分 的方 法 和 步 驟

定積 分”的概念 是 由極限運 算 定義 的,它是 一 I 個和 式的 極限 ,即

( 6   n+   (

:( b-a)   ( 口+  一口。剑桑 _ ) 21

2 2

例 用 義 算 積 。 2利 定 計 定 分f d .

解 } 于 函數(shù) , x =   co 1 則 ,   : I 1 () x ∈ I 1, , ( )  在 區(qū)問 I q . 積 。 O k ̄ , T 所  以將 區(qū)問 I l 等分 ,分 點 為 (: , …,) o  '   f 1 ,   ,小區(qū) 間 I , 的長  2

r  = 喜  - ,   ,   ( )

其 中 , : a{ , :   }   mx , ,  ̄   …, 。定 義中 對積分 區(qū)間 l b分劃 的任  口 1 , 意性 與 小 區(qū) 間 I    A , I 選 取 點 蟊 f 1 , 一 的任 意性 有 很 強 的思  - h (= , …,) 2

= 三 , 取 小 區(qū) 間 的 右 端 點 二 , 于 是

H  ^

f :喜 =

喜   x     (   。

: I — n+ i . m (

— — — —

想 性和 包 容性 。但 是在可 積 的情況 下 ,可 以選 取特 殊 的分法 與取 法 :

2 ) I : .n + 1 X —

— — 一

_坩 —

3用定義計算指數(shù)函數(shù) 和三角函數(shù) 的定積分

等 區(qū) 【 l按 積 的 義 有r( …百ba(。 分 間  , 定 分 定 , ,) l ̄ -, ) 6   i      出=m

可 取 小 區(qū) 問  , l 左 端 點  +   的   (一 ) 右 端 點  6  或

借助下面的等 比數(shù)列求和公式可求某些指數(shù)函數(shù)的定積分 :

口+唧 +. +卵 一 : . .

J~ 口

其中 ,

( g≠l 】

口 +

三( 一口 。 6 )

J  l

例 用 義 算 積  . 3利 定 計 定 分f 出

解  由 于函數(shù) ,() 。 ab ,則 , 。 在 區(qū)問 【,l 可積 。   ;E Cl,l () x 口b上   所 以將 區(qū) 間 【,l 分 , 分點 為 口 ’b )f 2…,) 小區(qū) 問  口b n等 +i(一口 (:1 , 月 ,

這樣我們用定義來 計算定 積分 的話 , 一般有 下 面的解題 格式

與 步驟 :

首先 , 由可積 的充 分條件 判斷 函數(shù)可 積。如果被 積 函數(shù) 是連  續(xù) 函數(shù) 的話 , 那么 函數(shù)可 積 ; 如果有 有 限個 間斷 點的話 , 由積分  則 的可加性 , 將其轉(zhuǎn)化為幾個連續(xù) 函數(shù)積分 的和 。   其次, 由函數(shù)可 積想到定 積分與分 法 、 取法無關(guān) , 而選取特  從 殊的分法 : 區(qū)間等分 ; 將 特殊 的取法 : 小區(qū)間的左端點或右端點。   第三 , 將定積分寫成一個特定和式 的極 限 , 用已知 的求 和公  利

(一 )n 。ㄒ )的長 度 A , b— 6 口, + 6 口I x =— a,取小 區(qū)問 的右端 點  -

n  月

。+

i- lpx…   ( 卜r 。 足 dl H ” o =喜     i a r 。 鬲

l i m

式求和 , 求和是關(guān)鍵 , 也是難點。

( 一P ) 1

= e  一 £ 。

最后 , 求數(shù)列極 限 , 得出定積分的值 。

2用 定 義 計 算 冪 函數(shù) 的定 積 分

觀 在令  酊的等 比數(shù)列求和 公式 中的 :1 , 口:厶其中 : 是復數(shù)且

z w:cs +ii0, 貝 對 于 : 。 . - z =e 。8 s n 0 +z . +: ;— . O

借助下面的求和公式可求某些冪函數(shù)的定積分 :

1 +. +^: !   +2 . .   ±!

'  )

_-

i一 :

i+ z .+     ± ! !   2+ . n :!   ± 1 z . !

艄 慨 娜

對 于 任 意 給 定 的 自然 數(shù) k, +   …+

求 法 , 參 考 文 獻  1 2+ 一 的   可 【】2 . l [1 ,   例 l 利用 定義 計算定 積分

10 2

cO? ÷—  oS?口+— s2+=竽告 80 ÷—一 +…O一—   C — C S +玎

! 咖 .   c 一s 1 o 。 ) t c  8 詈o+   (

xx d.

例 利 定 汁 定 分io k 4 用 義 筇 積 ‘s . c捌

可得。簦   =  以到 e  善  ̄ d x i … m

2 ( 一e ”、 n1

=。健   ? 一 +

由:數(shù) 。剑 c,, f)O 區(qū) I L  兩邊 分別 取實部  r , /)c e[ Jl  CX 問o 町 函 o o ) (=S x 三1 ! J '

積 。 所 以將 區(qū) 間 I," 等 分 , 分 點 為  (=1 , n , 小 區(qū) 間  O/    1 f , …,) 2

可得 zox x I   sd = , s xx= . c   i d 1 n

總 之 , 用 定 積 分 定 義 可 求 部 分 函數(shù) 的 定 積 分 , 們 要 面 臨 一  利 我

l 型

,

嘉的 度 寺 取 區(qū) 的 端  ,  l長。 , 小 問 右 點 j  是

c。 s   =

個 復雜的和式極 限的處理 , 于是 我們 學 習簡便 而有效 地計算 定積  分 的方 法— — 牛 頓 萊 布 尼 茲 公 式 。另 一 方 面 , 們 又 可 以用 定 義  我

求 一類 無限和的極限或數(shù)列極 限 。

參考文獻 :

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陽師 范 學 院 學 報 ,0 0 9 3 :1 9 . 2 1 ,( )9 — 3

( 上接第 15頁) . 1 2 產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)不合理 , 社會治安差  城 中村的出現(xiàn) , 使得一些貪 圖享樂 的村 民依賴 出租房屋 、 土地  補償款 、 資產(chǎn)分紅來獲得收益 , 日游手好閑 , 整 無所事 事 , 重了村  加

面投 入 改造 的積 極性 。   4 加 強 村 民 素質(zhì) 教育 , 高 工 作 技 能  . 提

村 民整體素質(zhì) 的

高低 與否嚴 重影響到城中村改造能否成 功的  由于城市產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的調(diào)整 , 勞動力素質(zhì)的要求也在逐 E提  對 l 民的惰性 , 如此發(fā)展下去 既阻礙 了村集體 的發(fā)展 又阻礙 了村 民個  進行 ,

人 的發(fā)展。同時 , 由于城 中村提供 了大量 的出租房屋 , 由此 外來暫  高 。村 民不僅要提高 文化素質(zhì) 和思想 觀念 , 還要 進行新 的培訓 和  教育 , 獲得謀生的手段和技 能 , 已適應(yīng) 城市 的經(jīng)濟 活動 , 更新 就業(yè)  住人員和流動人 口將城 中村作 為 了“ 聚集地 ” 。隨之 帶來 了一系

列不安定因素 , 性事件 也頻頻 發(fā)生 , 得治 安形式 越來 越嚴 峻 , 觀 念 。 惡 使     社 會 環(huán) 境 日趨 惡 化 。   3 人 口密 度 過 高 , 口素 質(zhì) 較 低  . 人

5 創(chuàng) 新 改 造 模 式 , 尋 新 的 發(fā) 展 道 路  . 探

通 過 借 鑒 廣 州 、 海 、 圳 等 一 些 地 方 的改 造 模 式 , 取 經(jīng) 驗  珠 深 吸

由 于 戶籍 制 度 和城 市 住 房 制 度 的 限 制 , 來 人 口 只 能 將 租 賃  教 訓 。要 努 力 探 索 這 幾 種 改造 模 式 的 優(yōu) 缺 點 , 具 體 分 析 各 個 城  外 在

房屋作為其解決住房 方式 的途徑 , 同時城 中村 的房屋租 賃價格 普  中村特點 、 主要問題及形成機制 的基礎(chǔ)上 , 活采用 改造模式 , 靈 實  城郊 結(jié)合 部 的村  遍低 于城市商 品房 的價 格 , 因此大量 的外來 人員高度 集 中于城 中  現(xiàn)多贏 。同時政府要 加強 引導 ,鼓勵 有條 件 的、 村 。加 之 村 民 的思 想 道 德 陳 舊 , 念 落 后 , 化 程 度 低 , 城 中 村  集 體 經(jīng) 濟 組 織 參 與 改 造 和 自行 改 造 。通 過 改 造 實 現(xiàn) 居 民城 市 化 , 觀 文 給

的精 神 文 明建 設(shè) 帶 來 了 困境 。   五 、 中 村 改 造 的措 施  城

使得村 民變?yōu)檎嬲饬x上 的市 民 , 享受市 民擁有 的待遇 , 使得城 中  村的改造順應(yīng)城市化 的發(fā)展進程 , 籌城鄉(xiāng)發(fā)展 , 步推進城 鄉(xiāng)一  統(tǒng) 穩(wěn)

體化。

參考文獻 :

1 調(diào)整城市總體規(guī)劃 , . 制定詳 細 目標  調(diào)整城市總體規(guī)劃 , 應(yīng)對建成 區(qū)和城 中村 地 區(qū)的建設(shè) 做到 統(tǒng)

規(guī) 劃 管 理 , 分 考 慮 城 市 用 地 功 能 、 礎(chǔ) 設(shè) 施 發(fā) 展 水 平 , 定 城  充 基 確

市基礎(chǔ)設(shè)施 布局合理 , 統(tǒng)籌安排公共設(shè)施 , 解決外來人 口的生活和  居 住 空 間 需 求 。 把城 中 村 的 改 造 與 城 市 的 規(guī) 劃 合 理 的結(jié) 合 起 來 ,

在 建設(shè) 的過 程 中要 規(guī) 范 建 設(shè) 行 為 ,各 級 政 府 職 能 部 門積 極 配 合 ,   相 互協(xié) 調(diào) , 強 工 程 監(jiān) 管 ,防止 新 的城 中村 和 違 章 建 筑 的 出 現(xiàn) 。 加   2 提 高 認 識 , 化 理 念  . 深

[]

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大力宣傳整治改 造城 中村 的意義 、 原則 和方 法 , 廣 大市 民  使

和城 中村 的村 民了解城 中村 問題 的危 害 , 強城 市意識 , 增 要加 大  行政推動力度 , 強宣傳教育 , 一步提 高人 民群眾 對城 中村 改  加 進

造 重 要 意 義 的認 識 ,切 實 消 除 村 民思 想 顧 慮 , 城 市 化 進 程 的 不  為

[ ] 素英. 5金 城市化進程 中的“ 中村” 城 現(xiàn)象探 討[ ] J .綠色大

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慮他們的生活需求。城中村 的改造 , 要實 現(xiàn)戶 籍制 度 、 土地管 理 、   行 政 體 制 、 濟 組 織 、 活 活 動 等 方 面 的 完 全 轉(zhuǎn) 變 , 正 實 現(xiàn) 城 市  經(jīng) 生 真 化。通過立法來保 證集 體財產(chǎn) 和個人 財產(chǎn)不 受到損 害 , 在土地 收  益的分配上盡 可能 的對村 民和投資 方讓利 , 動村 民和社會 兩方  調(diào)

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1 1 鑊  2

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