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羅爾(Rolle)中值定理的一個(gè)應(yīng)用
摘 要 羅爾中值定理是一個(gè)重要的微分學(xué)基本定理，它揭示了可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)的本質(zhì)特合理地利用它，則可方便地證明某些恒等式。
關(guān)鍵詞 羅爾中值定理 極值 極值點(diǎn) 可導(dǎo)函數(shù) 恒等式
中圖分類(lèi)號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
羅爾中值定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理統(tǒng)稱(chēng)為微分中值定理。其中羅爾中值定理是微分學(xué)基本定理中的一個(gè)重要的定理，它也是拉格朗日中值定理的一個(gè)特殊形式。它的幾何意義在于：若函數(shù)在某區(qū)間上滿足羅爾定理的三個(gè)條件，則在該區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，函數(shù)在該點(diǎn)的切線必與X軸平行。正是基于這一點(diǎn)，在教學(xué)中人們一般主要介紹它在判別某個(gè)方程是否有解上的應(yīng)用。但在輔導(dǎo)學(xué)生作考研準(zhǔn)備時(shí)發(fā)現(xiàn)，理解中值定理的本質(zhì)，利用它也可以巧妙地來(lái)證明一些特殊的恒等式。現(xiàn)介紹如下：
1 羅爾中值定理
這三個(gè)例題均為某大學(xué)的考研題。從例3、例4及例5可以看出，若能深刻理解羅爾中值定理的本質(zhì)特征，并能巧妙地建立輔助函數(shù)（這也是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵所在），就能利用它方便地證明一些特殊的恒等式。當(dāng)然，這實(shí)質(zhì)上也還是方程根的存在性問(wèn)題，只是表示方法有所不同而已。
注釋
① 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）.高等教育出版社：122.
②③劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（上冊(cè)）（第三版）.高等教育出版社：212，213.
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