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海淀數(shù)學(xué)試卷及答案
海 淀 區(qū) 九 年 級 第 二 學(xué) 期 期 中 練 習(xí)
數(shù) 學(xué) 2015．5
一、選擇題（本題共30分，每小題3分）
下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的． ．．
1．2015年北京市實施能源清潔化戰(zhàn)略，全市燃煤總量減少到15 000萬噸左右，將15 000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為
A． 0.15?105 B．1.5?104 C．1.5?105 D．15?103 2．右圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是
A. 三棱柱 B. 三棱錐 C. 長方體 D.正方體 3．如圖，數(shù)軸上兩點A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點B表示的數(shù)為
A．?1 B．1 C．?2 D．2
4．某游戲的規(guī)則為：選手蒙眼在一張如圖所示的正方形黑白格子紙（九個小正方形面積相等）上描一個點，若所描的點落在黑色區(qū)域，獲得筆記本一個；若落在白色區(qū)域，獲得鋼筆一支．選手獲得筆記本的概率為
A．
1445 B． C． D． 2599
5．如圖，直線a與直線b平行，將三角板的直角頂點放在直線a上，若∠1=40°，則∠2等于
A． 40° C．60° B．50° D．140°
6．如圖，已知∠AOB．小明按如下步驟作圖：
（1）以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于點E． （2）分別以D，E為圓心，大于
2
1
DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠2
AOB的內(nèi)部相交于點C．
（3）畫射線OC．
根據(jù)上述作圖步驟，下列結(jié)論正確的是
A．射線OC是?AOB的平分線 B．線段DE平分線段OC
C．點O和點C關(guān)于直線DE對稱 D．OE=CE 7．某次比賽中，15名選手的成績?nèi)鐖D所示，則 這15名選手成績的眾數(shù)和中位數(shù)分別是 A．98，95 B．98，98 C．95，98 D．95，95
8. 甲騎車到乙家研討數(shù)學(xué)問題，中途因等候紅燈停止了一分鐘，之后又騎行了1.2千米到達(dá)了乙家．若甲騎行的速度始終不變，從出發(fā)開始計時，剩余的路程S（單位：千米）與時間t（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，則圖中a等于
A．1.2 B．2 C．2.4 D．6
9．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E.若?B?60?，AC=3，則CD的長為
A． 6 B
． C
D．3
10．小明在書上看到了一個實驗：如右圖，一個盛了水的圓柱形容器內(nèi)，有一個頂端拴了一根細(xì)繩的實心鐵球，將鐵球從水面下沿豎直方向慢慢地勻速向上拉動.小明將此實驗進(jìn)行了改進(jìn)，他把實心鐵球換成了材質(zhì)相同的別的物體，記錄實驗時間t以及容器內(nèi)水面的高度h，并畫出表示h與t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象.如左下圖所示.小明選擇的物體可能是
S/千米
A B C
D
二、填空題（本題共18分，每小題3分） 11．分解因式：a3?ab2?____________．
12．寫出一個函數(shù)y?kx（k?0），使它的圖象與反比例函數(shù)y?個函數(shù)的解析式為___________．
1
的圖象有公共點，這x
13．某學(xué)習(xí)小組設(shè)計了一個摸球試驗，在袋中裝有黑，白兩種顏色的球，這些球的形狀大小質(zhì)地等完全相同，即除顏色外無其他差別.在看不到球的情況下，隨機從m.stanzs.com袋中摸出一個球，記下顏色，再把它放回，不斷重復(fù).下表是由試驗得到的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
從這個袋中隨機摸出一個球，是白球的概率約為 ．（結(jié)果精確到0.1）
14．如圖，點C為線段AB上一點，將線段CB繞點C旋轉(zhuǎn)，得到線段CD，若DA?AB，AD?
1，BDBC的長為__________． 15． 在研究了平行四邊形的相關(guān)內(nèi)容后，老師提出這樣一個問題：
“四邊形ABCD 中，AD∥BC，請?zhí)砑右粋�條件，使得四邊形ABCD是平行四邊形”．經(jīng)過思考，小明說“添加AD=BC”，小紅說“添加AB=DC” ．你同意 的觀點， 理由是 ．
16．若三角形的某一邊長等于其外接圓半徑，則將此三角形稱為等徑三角形，該邊所對的角稱為等徑角.已知△ABC是等徑三角形，則等徑角的度數(shù)為 . 三、解答題（本題共30分，每小題5分） 17
．計算：2?2?2cos60o?(3.14?π)0．
?3x?4?5x?2，?
18．解不等式組：?1 4
?x≥3x?3.?
19．已知4x?3y，求代數(shù)式(x?2y)2?(x?y)(x?y)?2y2的值．
20．如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，AB=FC，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB． 求證： BE=CD．
2
?0 (k?0). k
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
21.已知關(guān)于x的方程kx2?x?
（2）若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求整數(shù)k的值．
22．列方程或方程組解應(yīng)用題:
為了響應(yīng)學(xué)校提出的“節(jié)能減排，低碳生活”的倡議，班會課上小李建議每位同學(xué)都踐行“雙面打印，節(jié)約用紙”．他舉了一個實際例子：打印一份資料，如果用A4厚型紙單面打印，總質(zhì)量為400克，將其全部改成雙面打印，用紙將減少一半；如果用A4薄型紙雙面打印，總質(zhì)量為160克.已知每頁薄型紙比厚型紙輕0.8克，求例子中的A4厚型紙每頁的質(zhì)量.（墨的質(zhì)量忽略不計）
四、解答題（本題共20分，每小題5分）
23．如圖，在□ABCD中，∠BAD的平分線交CD于點E，交BC的延長線于點F，連接BE，∠F=45°． （1）求證：四邊形ABCD是矩形； （2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．
24．根據(jù)某研究中心公布的近幾年中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展?fàn)顩r統(tǒng)計報告的部分相關(guān)數(shù)據(jù)，繪制的統(tǒng)計圖表如下：
根據(jù)以上信息解答下列問題：
（1）直接寫出扇形統(tǒng)計圖中m的值；
（2）從2011年到2014年，中國網(wǎng)民人數(shù)每年增長的人數(shù)近似相等，估算2015年中國網(wǎng)民的人數(shù)約為 億；
（3）據(jù)某市統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，2014年末全市常住人口為476.6萬人，其中網(wǎng)民數(shù)約為210萬人．若2014年該市的網(wǎng)民學(xué)歷結(jié)構(gòu)與2014年的中國網(wǎng)民學(xué)歷結(jié)構(gòu)基本相同，請你估算2014年末該市網(wǎng)民學(xué)歷是大專的約有 萬人．
25．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，過點C作⊙O與邊AB相切于點E，交BC于點F，CE為⊙O的直徑.
（1） 求證：OD⊥CE；
（2） 若DF=1， DC=3，求AE的長．
26．閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，DE∥BC分別交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．
小明發(fā)現(xiàn)，過點E作EF∥DC，交BC延長線于點F，構(gòu)造△BEF，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．
圖1 圖2 圖3
請回答：BC+DE的值為_______．
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點G，AC=BF=DF，求∠AGF的度數(shù)．
五、解答題（本題共22分，第27題7分，第28題7分，第29題8分）
27．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線1
y?x2?x?2與y軸交于點A，頂點為點
2
B，點C與點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱． （1）求直線BC的解析式；
（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標(biāo)為4．將拋物線在點A，D之間的部分（包含點A，D）記為圖象G，若圖象G向下平移t（t?0）個單位后與直線BC只有一個公共
點，求t的取值范圍．
28．在菱形ABCD中，?ADC?120?，點E是對角線AC上一點，連接DE，?DEC?50?，將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)50?并延長得到射線BF，交ED的延長線于點G． （1）依題意補全圖形；
D
D
A
E
CA
E
C
B
B
備用圖
（2）求證：EG?BC；
（3）用等式表示線段AE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系：_____________________________．
29．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P(a,b)和點Q(a,b?)，給出如下定義：
?b,a≥1若b???，則稱點Q為點P的限變點．例如：點?2,3?的限變點的坐標(biāo)是?2,3?，點
??b,a?1
??2,5?的限變點的坐標(biāo)是??2,?5?．
（1
）①點
的限變點的坐標(biāo)是___________；
2
圖象上某一個點的限變點， x
?
②在點A??2,?1?，B??1,2?中有一個點是函數(shù)y?
這個點是_______________；
（2）若點P在函數(shù)y??x?3(?2≤x≤k,k??2)的圖象上，其限
變點Q的縱坐標(biāo)b?的取值范圍是?5≤b?≤2，求k的取值范圍；
（3）若點P在關(guān)于x的二次函數(shù)y?x?2tx?t?t的圖象上，其限變點Q的縱坐標(biāo)b?的取值范圍是b?≥m或b??n，其中
22
m?n．令s?m?n，求s關(guān)于t的函數(shù)解析式及s的取值范圍．
海淀區(qū)九年級第二學(xué)期期中練習(xí)
2015．5
一、 選擇題（本題共30分，每小題3分）
二、填空題（本題共18分，每小題3分）
17. (本小題滿分5分) 解：原式=
11
?2??1 ………………………………………………………4分 421
?? ………………………………………………………………5分 4
18. (本小題滿分5分) 解： ?3x?4?5x?，2①
?
?14x≥x?. ②?33?
由不等式①得 x?3． ……………………………………………………2分
由不等式②得 x≥?2． ……………………………………………………4分 ∴不等式組的解集為?2≤x?3． ……………………………………………………5分
19. (本小題滿分5分)
解： (x?2y)2?(x?y)(x?y)?2y2
?x2?4xy?4y2?(x2?y2)?2y2………………………………………………2分
??4xy?3y2 ……………………………………………………………………3分
??y?4x?3y?．…………………………………………………………………4分
∵4x?3y，
∴原式= 0． ………………………………………………………………………5分 20. (本小題滿分5分) 證明：
∠EBC=∠FCB，
??ABE??FC．D …………………………………………………………1分
在△ABE與△FCD中， ??A??F,
? ?AB?FC,
??ABE??FCD,?
??ABE≌?FCD．………………………………………………………………4分 ?BE=CD． ………………………………………………………………………5分 21. (本小題滿分5分) （1）證明：k?0，
?kx2?x??0 是關(guān)于x的一元二次方程．
2k
2
??(?1)2?4k(?) ……………………………………………………1分
k
?9?0．
?方程總有兩個不相等的實數(shù)根． ………………………………………2分
（2）解：由求根公式，得
x?
1?． 2k
21
,x2??． …………………………………………………………4分 kk
?x1?
方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且k是整數(shù)，
? k??1或k?1．…………………………………………………………5分
22. (本小題滿分5分)
解： 設(shè)例子中的A4厚型紙每頁的質(zhì)量為x克．………………………………………1分
由題意，得
400160
?2?． ………………………………………………2分 xx?0.8
解得 x?4． ………………………………………………………3分 經(jīng)檢驗， x?4為原方程的解，且符合題意． ………………………………4分 答：例子中的A4厚型紙每頁的質(zhì)量為4克． …………………………………5分 四、解答題（本題共20分，每小題5分） 23. (本小題滿分5分) （1）證明：
四邊形ABCD是平行四邊形，
?AD//BC．
?∠DAF=∠F．
∠F=45°，
．………………………………………1分 ?∠DAE=45°
AF是∠BAD的平分線，
??EAB??DAE?45． ??DAB?90．
又
四邊形ABCD是平行四邊形，
?四邊形ABCD是矩形． …………………………2分
（2）解：過點B作BH?AE于點H，如圖． 四邊形ABCD是矩形，
?AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．
AB=14，DE=8， ? CE=6．
在Rt△ADE中，∠DAE=45°， ?∠DEA=∠DAE=45°． ? AD=DE=8． ? BC=8．
在Rt△BCE中，由勾股定理得
BE?10． ……………………………………………3分 在Rt△AHB中，∠
HAB=45°，
?BH?AB?sin45?． …………………………………………4分
在Rt△BHE中，∠BHE=90°，
?sin∠AEB=
24. (本小題滿分5分)
BH?． ……………………………………………5分 BE10
（1）36． ……………………………………………………………………………1分
（2）6.70?0.01． ……………………………………………………………………3分 （3）21． ……………………………………………………………………………5分 25. (本小題滿分5分) （1）證明：
⊙O與邊AB相切于點E，且 CE為⊙O的直徑．
?CE⊥AB．
AB=AC，AD⊥BC，
?BD?DC． ………………………………1分
又 OE=OC，
?OD∥EB．
? OD⊥CE．………………………………2分
（2）解：連接EF．
CE為⊙O的直徑，且點F在 ⊙O上， ．
? ∠EFC=90° CE⊥AB， ． ?∠BEC=90°
． ??BEF+∠FEC??FEC?∠ECF=90°
??BEF??ECF．
?tan?BEF?tan?ECF．
?BF?EF．
EF
FC
又DF=1， BD=DC=3， ? BF=2， FC=4．
?EF? ………………………………………………… 3分
∵∠EFC=90°， ∴∠BFE=90°．
由勾股定理，得BE． ……………………4分 EF∥AD， BEBF2???．
EAFD1
?AE?． ……………………………………………………5分
26. (本小題滿分5分)
解：BC＋DE
． ……………………………………………………2分 解決問題： 連接AE，CE，如圖．
∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴．
∵四邊形ABEF是矩形，
∴，BF＝AE． ∴．
∴四邊形DCEF是平行四邊形． ………………………………………………3分 ∴ ． ∵AC＝BF＝DF， ∴AC＝AE＝CE．
∴△ACE是等邊三角形． …………………………………………………………4分 ∴∠ACE＝60°． ∵CE∥DF，
∴∠AGF＝∠ACE＝60°． …………………………………………………………5分 五、解答題（本題共22分，第27題7分，第28題7分，第29題8分）
27. (本小題滿分7分)
解：（1）∵拋物線y?x2?x?2與y軸交于點A
，
∴點A的坐標(biāo)為（0，2）． …………………………………………1分 ∵y?x2?x?2?(x?1)2?
1
2
12
3， 2
12
3
∴拋物線的對稱軸為直線x?1，頂點B的坐標(biāo)為（1，）． …………2分
2
又∵點C與點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴點C的坐標(biāo)為(2，2)，且點C在拋物線上．
設(shè)直線BC的解析式為y?kx?b． 3
∵直線BC經(jīng)過點B（1，）和點C(2，2)，
2
31??
?k?b?，?k?，∴?2 解得?2 ???2k?b?2.?b?1.∴直線BC的解析式為
1
y?x?1．…………………………3分
2
1
（2） ∵拋物線y?x2?x?2中，
2
當(dāng)x?4時，y?6，
∴點D的坐標(biāo)為(4，6)． ………………4分
1
∵直線y?x?1中，
2
當(dāng)x?0時，y?1， 當(dāng)x?4時，y?3，
∴如圖，點E的坐標(biāo)為(0，1)，
點F的坐標(biāo)為(4，3)．
設(shè)點A平移后的對應(yīng)點為點A'，點D平移后的對應(yīng)點為點D'．
當(dāng)圖象G向下平移至點A'與點E重合時， 點D'在直線BC上方， 此時t=1；…………………………………………………………5分
當(dāng)圖象G向下平移至點D'與點F重合時，點A'在直線BC下方，此時t=3．
……………………………………………………………………………………6分 結(jié)合圖象可知，符合題意的t的取值范圍是1?t≤3．……………………………7分 28. (本小題滿分7分)
（1）補全圖形，如圖1所示．…………………………………………………………1分
11
F
F
G
D
D
G
A
E
C
A
E
C
B
圖1 圖2
（2）方法一：
證明：連接BE，如圖2． ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD∥BC． ?ADC?120?， ??DCB?60?．
AC是菱形ABCD的對角線，
∴?DCA?1?DCB?30?． ……………………………………………………………2分
2
??EDC?180???DEC??DCA?100?．
B
由菱形的對稱性可知， ?BEC??DEC?50?，
……………………………………………………………………3分 ?EBC??EDC?100?．
??GEB??DEC??BEC?100?． ??GEB??CBE． ?FBC?50?，
??EBG??EBC??FBC?50?．…………………………………………………………4分 ??EBG??BEC． 在△GEB與△CBE中，
??GEB??CBE,?
?BE?EB,
??EBG??BEC,?
∴△GEB≌△CBE．
?EG?BC． ………………………………………………………………………………5分 方法二：
證明：連接BE，設(shè)BG與EC交于點H，如圖3． ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD∥BC．
12
A
FG
D
H
C
B
?ADC?120?， ??DCB?60?． AC是菱形
ABCD的對角線，
∴?DCA?1?DCB?30?． ………………………2分
2
??EDC?180???DEC??DCA?100?．
由菱形的對稱性可知，
?BEC??DEC?50?，?EBC??EDC?100?．
……………………………………………3分
?FBC?50?
，
圖3
??EBG??EBC??FBC?50???BEC． …………………
……………………………4分 ?BH?EH．
在△GEH與△CBH中，
??GEH??CBH,?
?EH?BH,
??EHG??BHC,?
∴△GEH≌△CBH．
?EG?BC． ………………………………………………………………………………5分 （3）AE?BG?． …………………………………………………………………7分 29．(本小題滿分8分)
解：（1）① ； ……………………………………………………………………1分
② 點B． ………………………………………………………………………2分
（2）依題意，y??x?3(x≥?2)圖象上的點P的限變點必在函數(shù)y??圖象上．
?b?≤2，即當(dāng)x?1時，b?取最大值2．
??x?3,x≥1
的
x?3,?2≤x?1?
當(dāng)b???2時，?2??x?3．
?x?5． ………………………………………3分 當(dāng)b???5時，?5?x?3或?5??x?3．
?x??2或x?8． ………………………………4分 ?5≤b?≤2，
由圖象可知，k的取值范圍是5≤k≤8．
……………………………………………5分 （3）
y?x2?2tx?t2?t?(x?t)2?t，
?頂點坐標(biāo)為(t,t)．………………………………………………………………6分
若t?1，b?的取值范圍是b?≥m或b?≤n，與題意不符．
13
若t≥1，當(dāng)x≥1時，y的最小值為t，即m?t；
當(dāng)x?1時，y的值小于?[(1?t)2?t]，即n??[(1?t)2?t]．
?s?m?n?t?(1?t)2?t?t2?1．
． ……………………………7分 ?s關(guān)于t的函數(shù)解析式為 s?t2?1 (t?1)
當(dāng)t=1時，s取最小值2．
?s的取值范圍是s≥2． 分14
………………………………………………………8
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