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邏輯謎題的邏輯
摘要：美國(guó)邏輯學(xué)家斯穆里安的邏輯謎題系列著作是普及現(xiàn)代數(shù)理邏輯知識(shí)的著名作品，本文首先介紹了斯穆里安本人提出的一套“亞瑟與伯納德謎題”的解答方法，然后從模態(tài)命題邏輯角度提出了一種一般解答方案并舉例說(shuō)明了該方案。 關(guān)鍵詞：斯穆里安;邏輯謎題;命題邏輯;模態(tài)邏輯 中圖分類號(hào)：B81???????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???????????文章編號(hào)： 著名的邏輯學(xué)家雷蒙德?斯穆里安（Raymond?Smullyan）出版了一系列關(guān)于邏輯謎題的書(shū)。《女人和老虎》是繼《這本書(shū)叫什么？》之后斯穆里安第二本被翻譯到中國(guó)的邏輯謎題著作，2010年出版后，于2012年又改名為《趣味小邏輯》重新出版�！哆@本書(shū)叫什么？》則由著名邏輯學(xué)專家康宏逵先生（1935-2014年）在1987年翻譯出版，2011年重版。雷蒙德?斯穆里安生于1919年，至今年屆九旬，是世界著名的數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和哲學(xué)家，還是一個(gè)鋼琴演奏師和舞臺(tái)魔術(shù)師。1957-1959年，他在普林斯頓大學(xué)師從國(guó)際符號(hào)邏輯學(xué)會(huì)（1936年建立）第一任主席阿倫佐?丘齊（Alonzo?Church，1903-1995），獲得博士學(xué)位。他先后在芝加哥大學(xué)的羅斯福學(xué)院教授鋼琴，在達(dá)特茅斯大學(xué)教授數(shù)學(xué)，在普林斯頓大學(xué)、印第安納大學(xué)、紐約城市大學(xué)的雷曼學(xué)院和研究生中心教授哲學(xué)和邏輯，后來(lái)又回到印第安納大學(xué)，應(yīng)聘為奧斯卡?尤因哲學(xué)教授，最后在那里榮譽(yù)退休。他撰寫(xiě)了23本書(shū)，其中6本是學(xué)術(shù)專著，17本是通俗著作。 一、問(wèn)題緣起 《這本書(shū)叫什么？》書(shū)名全稱為《這本書(shū)叫什么？――奇譎的邏輯謎題》，《女人和老虎》的全名則為《女人和老虎：以及其他邏輯謎題》。它們（和斯穆里安其他所有邏輯謎題著作一樣）都包含了一系列賞心悅目的問(wèn)題，有悖論，有元謎題，有數(shù)字練習(xí)，有組合型的腦筋急轉(zhuǎn)彎，以及許多其他東西，它們都和當(dāng)代邏輯和數(shù)學(xué)理論的重要概念相關(guān)。這些謎題的范圍廣闊，既有最簡(jiǎn)單的“老掉牙的故事”，又有最為挑逗智慧的復(fù)雜故事。無(wú)論是對(duì)于聰明靈巧的中學(xué)生來(lái)說(shuō)，還是經(jīng)驗(yàn)老到的數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家或者理論科學(xué)家來(lái)說(shuō)，還是任何其他類型的謎題愛(ài)好者，這些書(shū)都會(huì)為讀者帶來(lái)理智的愉悅。 斯穆里安教授和他的兩本漢譯著作書(shū)影 在引進(jìn)這些“帶來(lái)理智的愉悅”的著作時(shí)，我并不知道有沒(méi)有人曾經(jīng)深究過(guò)它們那些“賞心悅目的問(wèn)題”的解答方法�？岛赍酉壬谧g本《這本書(shū)叫什么？》的“譯者的話”中說(shuō)過(guò)，“謎題總共二百來(lái)道。難易相間，但全部是不需要任何邏輯預(yù)備知識(shí)就能求解的;甚至不需要什么大不了的能力，會(huì)用命題邏輯里最初等的推理方法，足矣。不外乎直接證法、間接證法或歸謬法、分情況證法或窮舉法，學(xué)過(guò)初中幾何的都會(huì)。偶爾用上量詞邏輯，也是淺顯的常識(shí)，諸如‘至多有一個(gè)’的反面是‘至少有兩個(gè)’之類。”[2]1但是，為這些謎題提出一些具有普遍性的解答方法應(yīng)該是一件有意思的事情，我們要做的就是這個(gè)工作，以引起讀者對(duì)這些謎題、甚至對(duì)于邏輯這門(mén)學(xué)科有進(jìn)一步的興趣。 所有這些謎題大致可以劃分為兩大類：第一類與真、信念、撒謊等概念有關(guān)，第二類處理的是自指、循環(huán)和哥德?tīng)柌煌耆远ɡ�。我們以《女人和老虎》一�?shū)為主研究第一類謎題，但是所提出的方法應(yīng)該可以推廣到其他謎題當(dāng)中。 二、命題邏輯方案 本節(jié)介紹斯穆里安本人以經(jīng)典命題邏輯為基礎(chǔ)提出的一個(gè)解答方案。 在斯穆里安的這些邏輯謎題書(shū)中，他喜歡用消遣式的邏輯謎題把重要的數(shù)學(xué)思想介紹給讀者。近年來(lái)在私人交往中，斯穆里安教授認(rèn)為他最鐘愛(ài)的邏輯謎題類型是那些稱之為“元謎題”的一類。這類謎題中最簡(jiǎn)單的一種是，給讀者一個(gè)謎題，但不給足解答它的信息。然后，讀者被告知，某個(gè)頭腦可靠的人得到一些額外的信息之后就會(huì)解答。得知這個(gè)頭腦可靠的人能解答，讀者現(xiàn)在也就可以解答出來(lái)了。 比方說(shuō)，在有個(gè)島上，居民可以分成兩種類型，T和F。類型T中，每一個(gè)人說(shuō)的話都是真的，而類型F中每個(gè)人說(shuō)的話都是假的。一個(gè)頭腦可靠的人拜訪這個(gè)島時(shí)，遇到兩個(gè)叫亞瑟和伯納德的本地人。訪客問(wèn)亞瑟，他倆是否都屬于類型T，亞瑟也回答了（當(dāng)然他只回答“是”或者“不”）。這個(gè)時(shí)候，讀者還無(wú)法知道他倆究竟屬于哪種類型，因?yàn)樽x者并不知道亞瑟回答的是什么。但是，現(xiàn)在書(shū)中告訴讀者，那個(gè)頭腦可靠的人在聽(tīng)了亞瑟的回答之后就能確定這兩個(gè)居民究竟屬于哪種類型！得知這一點(diǎn)之后，讀者現(xiàn)在就有了足夠的信息來(lái)解答這個(gè)究竟誰(shuí)屬哪個(gè)類型的謎題，而且無(wú)需讀到隨后的答案就知道了亞瑟的回答是什么。 一種稍微難一點(diǎn)的元謎題走得更遠(yuǎn)一點(diǎn)。謎題還是那種信息不足以解答的謎題，而且讀者也知道了有個(gè)頭腦可靠的人知道了這一信息，但是讀者現(xiàn)在并未告知這個(gè)頭腦可靠的人是不是可以解答出這個(gè)謎題。不過(guò)，所有這些情況都被第二個(gè)頭腦可靠的人得知，而且這個(gè)人被告知是否第一個(gè)頭腦可靠的人可以解答它。根據(jù)這一點(diǎn)，第二個(gè)頭腦可靠者可以解答出來(lái)。得知所有這些之后，讀者現(xiàn)在也可以解答出來(lái)！ 的確，斯穆里安的一些元謎題并沒(méi)有走這么遠(yuǎn)，它們散布于《幻境中的愛(ài)麗絲》或《女人和老虎》這些書(shū)中。斯穆里安本人提出了一套“亞瑟與伯納德謎題”的解答方法，征得他的同意，我們簡(jiǎn)單述介如下。 需要考慮四種可能的情況： �、賮喩筒{德都屬于類型T; ②亞瑟屬于T而伯納德屬于F; �、蹃喩獙儆贔而伯納德屬于T; �、軆扇硕紝儆贔。 在每一種情形之中，亞瑟給出的回答分別是什么呢？ ①在這種情形中，因?yàn)閮扇硕紝儆赥，作為T(mén)中的成員，亞瑟誠(chéng)實(shí)地回答“是”; �、谠谶@種情形中，因?yàn)閮扇瞬⒎嵌紝儆赥，亞瑟誠(chéng)實(shí)地回答“不”; �、塾捎趦扇瞬⒎嵌紝儆赥，作為F中的成員，亞瑟虛偽地回答“是”; �、茴愃频兀瑏喩卮稹笆恰�。 這樣一來(lái)，亞瑟在第二種情形中回答“不”，而在其他三種情形中都回答“是”。如果亞瑟回答的是“是”，那么訪客無(wú)從知道選三種情形中的哪一種，而由于我們被告知訪客真的知道結(jié)果，那么他一定是聽(tīng)到了回答“不”，由此知道情形2成立。所以，亞瑟屬于類型T而伯納德屬于類型F。 三、模態(tài)邏輯方案 本節(jié)提出一套模態(tài)邏輯的方案以就教于讀者。給定一個(gè)謎題，選定某個(gè)恰當(dāng)?shù)倪壿嬚Z(yǔ)言，以基于分離規(guī)則的經(jīng)典命題演算CnCPC的后承算子為基礎(chǔ)，我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)后承算子Cn作為它的保守?cái)U(kuò)張，然后觀察Cn的定理集合，看看它是否包含某些公式（通常是命題常項(xiàng)）。一般情形下，Cn的擴(kuò)張都是通過(guò)定義的擴(kuò)張，增加的是我們所考慮的情境的公理，例如某個(gè)對(duì)話的翻譯。 我們的語(yǔ)言記為L(zhǎng)，這個(gè)語(yǔ)言由通常的命題演算語(yǔ)言添加兩類符號(hào)而得： �、�?無(wú)窮多個(gè)命題常項(xiàng)Tx（解釋為：X是說(shuō)真話者）、Fx（解釋為：X是說(shuō)假話者）、Sx（解釋為：X是正常人），等等; �、跓o(wú)窮多個(gè)模態(tài)聯(lián)結(jié)詞XX（解釋為：X說(shuō)……）、X（?）（解釋為：X確信……），等等。這里的X?=?A，B，……，等等。 此外，我們假定L包含模態(tài)聯(lián)結(jié)詞B（…），意思是說(shuō)“對(duì)……的正確回答是Bal”，以及無(wú)窮多的模態(tài)聯(lián)結(jié)詞X?XB（…），意思是說(shuō)“X對(duì)問(wèn)題……的回答說(shuō)Bal”。B（truth）直接簡(jiǎn)寫(xiě)為B;因此B的意思是說(shuō)“Bal指的是‘是’”。如果需要，L還可以包含其他符號(hào)。Bal指的是“唄”，與“嗒（Da）”相反，都是指“是”或者“http://m.stanzs.com/news/55852B8E6B31498D.html不”，但究竟哪個(gè)指的是哪個(gè)則并不知道。[2]語(yǔ)言L中所有公式的集合記為Form（L）。 下面定義語(yǔ)言L中的一些公式集合，這些公式作為公理把CnCPC擴(kuò)張到所需要的后承算子。令Cnl（X）?=?CnCPC（X???Xl），l?{vampire，normals，KK，zombie}，其中：
Xvampire?=?{Tx????FX}???{XX?a ? （TX???X（a））}???{X（a）???（SX???a）}
Xnormals?=?{?Tx????FX}???{XX?a ? （TX???a）???（FX????a）
XKK?=?{Tx????FX}???{XX?a ? （TX???a）}
Xzombie?=?{Tx????FX}???{X?XB（a）???（TA???X（B（a）））}
??{X（a）???（TA???a）}???{B（a）???（B???a）} 以上出現(xiàn)的X?=?A，B，C，…，a???Form（L）。 現(xiàn)在，解答一個(gè)謎題就歸約為考慮什么屬于Cnl（Xpuzzle），其中Xpuzzle???Form（L） 以下內(nèi)容是對(duì)第四章第2個(gè)例子“盧格西兄弟的案子”的一個(gè)分析。我們先了解這個(gè)例子的背景。 特蘭西瓦尼亞居住著吸血鬼和人，吸血鬼總是撒謊而人總是講真話。但是包括人和吸血鬼在內(nèi)的一半居民都是神智錯(cuò)亂的，而且就像塔爾博士和費(fèi)舍爾教授的瘋?cè)嗽豪锩娴寞偪窬用褚粯樱耆聊缬谒麄兊男拍钪楔D―所有他們信以為假的都是真命題而所有他們信以為真的都是假命題。另一半居民則是完全神智健全的，并且正如第三章的瘋?cè)嗽寒?dāng)中神智健全的居民那樣，他們的判斷完全正確――所有他們知其為真的都是真命題而他們所有知其為假的都是假命題。當(dāng)然，特蘭西瓦尼亞的邏輯遠(yuǎn)比那些瘋?cè)嗽旱倪壿嫃?fù)雜得多，因?yàn)樵谀切┋側(cè)嗽豪锩�，居民至少都是誠(chéng)實(shí)的，他們作出虛假陳述僅僅出于錯(cuò)覺(jué)而從來(lái)不會(huì)出于惡意。但是當(dāng)一個(gè)特蘭西瓦尼亞居民作出一個(gè)虛假陳述的時(shí)候，要么出于錯(cuò)覺(jué)要么出于惡意。神智健全的人和神智錯(cuò)亂的吸血鬼所作的陳述都是真實(shí)的，而神智錯(cuò)亂的人和神智健全的吸血鬼所作的陳述都是虛假的。例如，如果你問(wèn)一個(gè)特蘭西瓦尼亞居民地球是不是圓的（而不是扁的），一個(gè)神智健全的人知道地球是圓的并且會(huì)如實(shí)地回答。一個(gè)神智錯(cuò)亂的人相信地球不是圓的，并且會(huì)如實(shí)地表達(dá)他的信念而說(shuō)它不是圓的。一個(gè)神智健全的吸血鬼知道地球是圓的，但是他卻會(huì)撒謊而說(shuō)它不是圓的。但是一個(gè)神智錯(cuò)亂的吸血鬼相信地球不是圓的，就會(huì)撒謊說(shuō)它是圓的。因而一個(gè)神智錯(cuò)亂的吸血鬼和一個(gè)神智健全的人在回答說(shuō)任何問(wèn)題的方式上都是相同的，而一個(gè)神智錯(cuò)亂的人和一個(gè)神智健全的吸血鬼相同。 “盧格西兄弟的案子”的具體內(nèi)容如下。盧格西兄弟的名字都叫貝拉，一個(gè)是吸血鬼而另外一個(gè)則不是。他們做出了以下陳述： 大貝拉：我是人。 小貝拉：我是人。 大貝拉：我的弟弟是神智健全的。 我們想要知道，哪一個(gè)是吸血鬼呢？ 作為說(shuō)真話者就意味著做出一個(gè)自己相信的陳述――并不一定為真，因此，X說(shuō)a就等值于TX???X（a），其中X（a）???（SX???a）。我們的任務(wù)就是檢驗(yàn)集合
{#X}???{?#X} 中的哪些元素在Cnvampire（Xpuzzle）中，其中
X?=?A，B
#?=?S，T
Xpuzzle?=?{A?X TA，B?X TB，A?X SB，TA????TB} 我們有
TA???A（TA）
TB???B（TB）
TA???A（SA）
TA????TB???Cnvampire（Xpuzzle） 因此，
TA???SA???TA
TB???SB???TB
TA???SA???SA???Cnvampire（Xpuzzle） 由上可以推出SA、SB、TA、?TB???Cnvampire（Xpuzzle），因此我們可以推出兩兄弟都是健全的，大貝拉是人類，小貝拉則是吸血鬼。[1]58 四、結(jié)語(yǔ) 著名哲學(xué)家趙汀陽(yáng)研究員對(duì)《女人和老虎》等邏輯謎題著作的出版做了熱情的推介。他認(rèn)為，“有兩種有趣的語(yǔ)言游戲都能讓人快樂(lè)：一種是迎合人們心中愚蠢念頭的搞笑，比如肥皂劇、低級(jí)笑話、小品和電視語(yǔ)言，人們?cè)谀切](méi)有智力水平的笑話中肯定了自己的愚蠢，從而獲得認(rèn)同的快樂(lè);另一種是開(kāi)啟人們心中智慧的邏輯和幽默，人們通過(guò)分享邏輯和幽默的智力成就而肯定了自己的智慧，雷蒙德?斯穆里安的書(shū)屬于后者。”這些同樣“帶來(lái)理智的愉悅”的話，一方面體現(xiàn)了趙先生對(duì)邏輯這門(mén)學(xué)科的喜歡，另一方面則體現(xiàn)了他對(duì)這些譯介工作的肯定和厚愛(ài)――這既是我們繼續(xù)譯介斯穆里安所有其他作品的動(dòng)力之一，也是從技術(shù)上研究斯穆里安這些工作的動(dòng)力之一。 參考文獻(xiàn)： [1]斯穆里安.女人和老虎：以及其他邏輯謎題[M].胡義昭譯.重慶大學(xué)出版社，2010. [2]斯穆里安.這本書(shū)叫什么？――奇譎的邏輯謎題[M].康宏逵譯.上海譯文出版社， 1987. 作者簡(jiǎn)介：劉新文（1972-），江西蓮花人，哲學(xué)博士，中國(guó)社會(huì)科學(xué)院哲學(xué)所研究員，邏輯學(xué)研究室主任，主要研究圖式邏輯、模態(tài)邏輯、證明復(fù)雜性理論、皮爾士邏輯與哲學(xué)、拉姆齊哲學(xué)等。 （責(zé)任編輯：李直）
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