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函數的單調性（教案）一
一、三維目標 （一）、知識與技能 1、理解函數單調性的概念，會根據函數的圖像判斷函數的單調性； 2、能夠根據函數單調性的定義證明函數在某一區(qū)間上的單調性。 （二）、過程與方法 1、培養(yǎng)學生利用數學語言對概念進行概括的能力； 2、通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合的思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力。 （三）情感態(tài)度與價值觀 1、通過本節(jié)課的教學，啟發(fā)學生養(yǎng)成細心觀察，認真分析，嚴謹論證的良好習慣； 2、通過問題鏈的引入，激發(fā)學生學習數學的興趣，學生通過積極參與教學活動，獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，簡歷學習數學的自信心。 二、教學重點 領會函數單調性的實質，明確單調性是一個局部概念。 三、教學難點 利用函數單調性的定義證明具體函數的單調性。 四、教學過程 （一）創(chuàng)設情景，引入新課 師：同學們，在初中的時候我們已經學過了函數圖像的一些基本畫法，而且我們也知道，函數的圖像在一定的程度上能夠反映一個函數的基本性質。那么現在就讓我們通過函數的圖像來進一步研究函數的性質。請同學們觀察下面兩組在相應區(qū)間上的函數圖像，然后指出這兩組圖像有什么區(qū)別？ （多媒體顯示下面兩組圖像） 第一組： 第二組： （請一位同學回答：從第一組函數的圖像可以看到，圖像從左到右是上升的；第二組函數圖像，從左到右是下降的。 師總結：對，這位同學回答得很好。在第一組圖像中，我們可以看到，在給定的區(qū)間上圖像呈上升趨勢；在第二組圖像中，在給定區(qū)間上呈下降趨勢。函數圖像的“上升”“下降”反映了函數的一個基本性質——單調性。那么如何描述函數的“上升”“下降”呢？ （請一位同學回答。也許學生回答得不全，老師可適當提示和引導，以 為例。） 生：函數 的圖像在區(qū)間 上“上升”，也就說當 在區(qū)間 上取值時，隨著 的增大，相應的 值也增大；函數 的圖像在區(qū)間 上“下降”，也就是說當 在區(qū)間 上取值時，相應的 值反而減小。 師：對，這正是兩組函數的主要區(qū)別．當x變大時，第一組函數的函數值都變大，而第二組函數的函數值都變小．雖然在每一組函數中，函數值變大或變小的方式并不相同，但每一組函數卻具有一種共同的性質．我們在學習一次函數、二次函數、反比例函數以及冪函數時，就曾經根據函數的圖象研究過函數的函數值隨自變量的變大而變大或變小的性質．而這些研究結論是直觀地由圖象得到的．在函數的集合中，有很多函數具有這種性質，因此我們有必要對函數這種性質作更進一步的一般性的討論和研究，這就是我們今天這一節(jié)課的內容． （點明本節(jié)課的內容，既是曾經有所認識的，又是新的知識，引起學生的注意．） （二）新課講解 師：請同學們打開課本第33頁，大家一起把增函數、減函數、單調區(qū)間的定義朗讀一遍． （學生朗讀．） 師：通過剛才閱讀增函數和減函數的定義，請同學們思考一個問題：這種定義方法和我們剛才所討論的函數值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致？如果一致，定義中是怎樣描述的？ 生：我認為是一致的．定義中的“當 時，都有 ”描述了y隨x的增大而增大；“當 時，都有 ”描述了y隨x的增大而減少． 師：說得非常正確．定義中用了兩個簡單的不等關系“ ”和“ 或 ”，它刻劃了函數的單調遞增或單調遞減的性質．這就是數學的魅力！ （通過教師的情緒感染學生，激發(fā)學生學習數學的興趣．） 師：現在請同學們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個函數 和 的圖象，體會這種魅力． （指圖說明．） 師：圖中 對于區(qū)間[a，b]上的任意 ， ，當 時，都有 ，因此 在區(qū)間[a，b]上是單調遞增的，區(qū)間[a，b]是函數 的單調增區(qū)間；而圖中 對于區(qū)間[a，b]上的任意 ， ，當 時，都有 ，因此 在區(qū)間[a，b]上是單調遞減的，區(qū)間[a，b]是函數 的單調減區(qū)間． （教師指圖說明分析定義，使學生把函數單調性的定義與直觀圖象結合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解．滲透數形結合分析問題的數學思想方法．） 師：因此我們可以說，增函數就其本質而言是在相應區(qū)間上較大的自變量對應…… （不把話說完，指一名學生接著說完，讓學生的思維始終跟著老師．） 生：較大的函數值的函數． 師：那么減函數呢？ 生：減函數就其本質而言是在相應區(qū)間上較大的自變量對應較小的函數值的函數． （學生可能回答得不完整，教師應指導他說完整．） 師：好．我們剛剛以增函數和減函數的定義作了初步的分析，通過閱讀和分析你認為在定義中我們應該抓住哪些關鍵詞語，才能更透徹地認識定義？ （學生思索．） 學生在高中階段以至在以后的學習中經常會遇到一些概念（或定義），能否抓住定義中的關鍵詞語，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學好數學及其他各學科的重要一環(huán)．因此教師應該教會學生如何深入理解一個概念，以培養(yǎng)學生分析問題，認識問題的能力． （教師在學生思索過程中，再一次有感情地朗讀定義，并注意在關鍵詞語處適當加重語氣．在學生感到無從下手時，給以適當的提示．） 生：我認為在定義中，有一個詞“給定區(qū)間”是定義中的關鍵詞語． 師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關鍵詞語，在學習幾個相近的概念時還要注意區(qū)別它們之間的不同．增函數和減函數都是對相應的區(qū)間而言的，離開了相應的區(qū)間就根本談不上函數的增減性．請大家思考一個問題，我們能否說一個函數在x=5時是遞增或遞減的？為什么？ 生：不能．因為此時函數值是一個數． 師：對．函數在某一點，由于它的函數值是唯一確定的常數（注意這四個字“唯一確定”），因而沒有增減的變化．那么，我們能不能脫離區(qū)間泛泛談論某一個函數是增函數或是減函數呢？你能否舉一個我們學過的例子？ 生：不能．比如二次函數 ，在y軸左側它是減函數，在y軸右側它是增函數．因而我們不能說 是增函數或是減函數． （在學生回答問題時，教師板演函數 的圖像，從“形”上感知．） 師：好．他（她）舉了一個例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區(qū)間”．這說明函數的單調性是函數在某一個區(qū)間上的性質，但這不排斥有些函數在其定義域內都是增函數或減函數．因此，今后我們在談論函數的增減性時必須指明相應的區(qū)間． 師：還有沒有其他的關鍵詞語？ 生：還有定義中的“屬于這個區(qū)間的任意兩個”和“都有”也是關鍵詞語． 師：你答的很對．能解釋一下為什么嗎？ （學生不一定能答全，教師應給予必要的提示．） 師：“屬于”是什么意思？ 生：就是說兩個自變量 ， 必須取自給定的區(qū)間，不能從其他區(qū)間上�。� 師：如果是閉區(qū)間的話，能否取自區(qū)間端點？ 生：可以． 師：那么“任意”和“都有”又如何理解？ 生：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數的增減性，而“都有”則是說只要 ， 就必須都小于 ，或 都大于 ． 師：能不能構造一個反例來說明“任意”呢？ （讓學生思考片刻．） 生：可以構造一個反例．考察函數 ，在區(qū)間[-2，2]上，如果取兩個特定的值 ， ，顯然 ，而 ， ，有 ，若由此判定 是[-2，2]上的減函數，那就錯了． 師：那么如何來說明“都有”呢？ 生： 在[-2，2]上，當 ， 時，有 ；當 ， 時，有 ，這時就不能說 ，在[-2，2]上是增函數或減函數． 師：好極了！通過分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數y=f（x）在某個區(qū)間內是增函數或減函數，不能由特定的兩個點的情況來判斷，而必須嚴格依照定義在給定區(qū)間內任取兩個自變量 ， ，根據它們的函數值 和 的大小來判定函數的增減性． 師：反過來，如果我們已知f（x）在某個區(qū)間上是增函數或是減函數，那么，我們就可以通過自變量的大小去判定函數值的大小，也可以由函數值的大小去判定自變量的大�。匆话愠闪t特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．這恰是辯證法中一般和特殊的關系．【函數的單調性教案一】相關文章：
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