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數(shù)學(xué)教案－相交線、對頂角
教學(xué)建議
1．知識結(jié)構(gòu)
2．重點(diǎn)和難點(diǎn)分析
（1）本節(jié)課的重點(diǎn)是對頂角的概念和性質(zhì)，這些是重要的基礎(chǔ)知識，在以后的學(xué)習(xí)中常常要用到，要求學(xué)生掌握．對頂角的概念是結(jié)合圖形描述的，這樣描述，便于學(xué)生在圖形中辨認(rèn).教學(xué)中不必讓學(xué)生背這些詞句，而是讓學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，教給學(xué)生在圖形中如何辨認(rèn)它們.辨認(rèn)對頂角的要領(lǐng)是：首先要有兩條直線相交構(gòu)成四個(gè)角的前提條件，再找其中有公共頂點(diǎn)沒有公共邊（或不相鄰）的兩個(gè)角，就是對頂角.
（2）本節(jié)課的難點(diǎn)是對頂角性質(zhì)的證明和書寫格式.要證明兩角相等，這對于剛學(xué)習(xí)推理證明的學(xué)生來說并非易事．教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生回憶至今為止已經(jīng)學(xué)過的關(guān)于兩個(gè)角相等的定理，使學(xué)生自己聯(lián)想到“同角的補(bǔ)角相等”這個(gè)定理，從而受到啟發(fā)獲得證明的思路．可先結(jié)合圖形用文字語言敘述推理過程，然后再“翻譯”成符號語言的幾何推理格式．要特別注意使學(xué)生明確每一步推理的根據(jù)．
3．教法建議
（1）因?yàn)楸竟?jié)是由相交線的模型——用釘子固定的兩根木條來引入的.所以教師要事先準(zhǔn)備好教具，先讓學(xué)生觀察模型，對相交線建立感性認(rèn)識，然后在從模型抽象出兩條相交直線.或用我們提供的課件來引入本節(jié)課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
（2）教師講完了對頂角的定義后，可以用以下方法讓學(xué)生感受對頂角的特征，探索其性質(zhì).老師拿出提前準(zhǔn)備好的剪刀，在講臺上演示.老師不停地變換剪刀的邊所成的角，讓學(xué)生思考，在剪刀的邊所在的角中，哪些角是對頂角，哪些角是鄰補(bǔ)角？讓學(xué)生在變化中理解對頂角和鄰補(bǔ)角的意義.
（3）本節(jié)課的內(nèi)容適合啟發(fā)式教學(xué)，教師可以先拿出相交線的模型，轉(zhuǎn)動木條，觀察角的變化，然后抽象出兩條相交直線，再讓學(xué)生觀察四個(gè)角的特征，這四個(gè)角根據(jù)位置關(guān)系可以分幾類，這兩類角各有有什么特征？這些問題都要由老師設(shè)問、啟發(fā)，學(xué)生經(jīng)過觀察、分析、歸納總結(jié)出來，讓學(xué)生自己親歷一次發(fā)現(xiàn)的過程，有利于學(xué)生對對頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)的理解.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
（一）知識教學(xué)點(diǎn)
1．理解對頂角和鄰補(bǔ)角的概念，能在圖形中辨認(rèn)．
2．掌握對頂角相等的性質(zhì)和它的推證過程．
3．會用對頂角的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的推理和計(jì)算．
（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)
1．通過在圖形中辨認(rèn)對頂角和鄰補(bǔ)角，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力．
2．通過對頂角件質(zhì)的推理過程，培養(yǎng)學(xué)生的推理和邏輯思維能力．
（三）德育滲透點(diǎn)
從復(fù)雜圖形分解為若干個(gè)基本圖形的過程中，滲透化難為易的化歸思想方法和方程思想．
（四）美育滲透點(diǎn)
通過實(shí)例，培養(yǎng)和提高學(xué)生的審美能力和審美標(biāo)準(zhǔn)；通過相交線，使學(xué)生進(jìn)一步體會幾何圖形的簡單美、對稱美．
二、學(xué)法引導(dǎo)
1．教師教法：教具直觀演示法啟發(fā)引導(dǎo)、嘗試研討．
2．學(xué)生學(xué)法：動手動腦、積極參與、認(rèn)真研討、學(xué)會概括．
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法
（一）重點(diǎn)
（二）難點(diǎn)
在較復(fù)雜的圖形中準(zhǔn)確辨認(rèn)對頂角和鄰補(bǔ)角．
（三）疑點(diǎn)
對頂角、鄰補(bǔ)角的圖形識別．
（四）解決辦法
強(qiáng)調(diào)圖形的基本特征，指導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會分解復(fù)雜圖形、找出基本圖形的方法．
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀或電腦、三角尺、自制復(fù)合膠片、木條制成的相交直線的模型．
六、師生互動活動設(shè)計(jì)
1．通過實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入課題．
2．通過演示實(shí)驗(yàn)和學(xué)生討論、總結(jié)對頂角、鄰補(bǔ)角兩個(gè)概念．
3．通過學(xué)生研討、練習(xí)鞏固完成性質(zhì)的講解．
4．通過學(xué)生總結(jié)完成課堂小結(jié)．
5．通過隨堂練習(xí)，檢測學(xué)生學(xué)習(xí)情況．
七、教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)
能在圖形中正確辨認(rèn)對頂角和鄰補(bǔ)角，理解其概念，掌握其性質(zhì)，并運(yùn)用其進(jìn)行推理計(jì)算．
（二）整體感知
通過對較復(fù)雜圖形的認(rèn)識和學(xué)習(xí)，逐步加深幾何知識，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和邏輯推理、表達(dá)能力．
（三）教學(xué)過程
創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
投影打出本章的章前圖（投影片1），然后引導(dǎo)學(xué)生觀察，并回答問題．
學(xué)生活動：口答哪些道路是交錯(cuò)的，哪些道路是平行的．
教師導(dǎo)入 ：圖中的道路是有寬度的，是有限長的，而且也不是完全直的，當(dāng)我們把它們看成直線時(shí)，這些直線有些是相交線，有些是平行線．相交線、平行線都有許多重要性質(zhì)，并且在生產(chǎn)和生活中有廣泛應(yīng)用．它們就是我們本章要研究的課題：
【板書】第二章 相交線、平行線
【教法說明】以立交橋?yàn)閷?shí)例引出本章內(nèi)容，目的是①通過實(shí)例，讓學(xué)生了解相交線、平行線是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常見到的；②通過畫面，培養(yǎng)學(xué)生的空間想像能力；③通過畫面，啟發(fā)學(xué)生廣泛地聯(lián)想，讓學(xué)生知道，相交線、平行線的概念是從實(shí)物中抽象出來的；④通過學(xué)生熟悉的事物，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．
學(xué)生活動：請學(xué)生舉出現(xiàn)實(shí)空間里相交線、平行線的一些實(shí)例．
教師導(dǎo)入 ：相交線、平行線在日常生活中經(jīng)常見到，有著廣泛應(yīng)用，所以研究這些問題對今后的工作和學(xué)習(xí)都是有用的，也將為后面的學(xué)習(xí)做些準(zhǔn)備．我們先研究直線相交的問題，從而引入本節(jié)課題．
【板制】2.1 相交線、對頂角
探究新知，講授新課
教師演示：取兩根木條a、b，用釘子將它們釘在一起，并且能隨意張開．固定水條a，繞釘子轉(zhuǎn)動b，可以看到，b的位置變化了，a、b所成的角a也隨著變化．這說明兩條直線相交的不同位置情況，與它們的交角大小有關(guān)．可以用它們所成的角來說明相對位置的各種情況．所以研究兩條直線相交問題首先來研究兩條直線相交得到的有公共頂點(diǎn)的四個(gè)角．這四個(gè)角都有一個(gè)公共頂點(diǎn)，其中有些有公共邊，有些沒有公共邊，故我們把這些角分成兩類：對頂角和鄰補(bǔ)角．
【教法說明】演示相交線的模型，目的是使學(xué)生領(lǐng)會研究相交線為什么要研究它們相交所成的角．
1．對頂角和鄰補(bǔ)角的概念
學(xué)生活動：觀察右圖，同桌討論if與Z3有什么特點(diǎn)，然后，舉手回答，教師統(tǒng)一學(xué)生觀點(diǎn)并板書．
【板書】∠1與∠3是直線AB、CD相交得到的，它們有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，沒有公共邊，像這樣的兩個(gè)角叫做對頂角．
學(xué)生活動：讓學(xué)生找一找右圖中還有沒有對頂角，如果有，是哪兩個(gè)角？
學(xué)生口答：∠2和∠4再也是對頂角．
緊扣對頂角定義強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)：
（1）辨認(rèn)對頂角的要領(lǐng)：一看是不是兩條直線相交所成的角，對頂角與相交線是唇齒相依，哪里有相交直線，哪里就有對頂角，反過來，哪里有對頂角，哪里就有相交線；二看是不是有公共頂點(diǎn)；三看是不是沒有公共邊．符合這三個(gè)條件時(shí)，才能確定這兩個(gè)角是對頂角，只具備一個(gè)或兩個(gè)條件都不行．
（2）對頂角是成對存在的，它們互為對頂角，如∠1是∠3的對頂角，同時(shí)，∠3是∠1的對頂角，也常說∠1和∠3是對頂角．
反饋練習(xí)：投影顯示（投影片2）
下列各圖中，∠l和∠2是對頂角嗎？為什么？（射線OA是活動的）
【教法說明】本組題目是鞏固對頂角概念的，通過練習(xí)，使學(xué)生掌握在圖形中辨認(rèn)對頂角的要領(lǐng)，同時(shí)又用反例印證概念，使學(xué)生加深印象，最后一個(gè)圖形為下面講部補(bǔ)角做鋪墊。
學(xué)生活動：觀察圖2－l，∠1和∠2與對頂角相比，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而得出鄰補(bǔ)角的定義．
【板書】∠l和∠2也是直線AB、CD相交得到的，它們不僅有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，還有一條公共邊OA，像這樣的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角．
學(xué)生活動：讓學(xué)生找一找圖2－1中還有沒有其他鄰補(bǔ)角，如果有，是哪些角．
學(xué)生口答：∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4都是鄰補(bǔ)角．
【教法說明】把鄰補(bǔ)角的概念與對頂角概念對比著講解，便于掌握概念之間的聯(lián)系與 區(qū)別，加深對概念的理解．
提出問題：如右圖，∠1和∠2還是鄰補(bǔ)角嗎？為什么？
師：鄰補(bǔ)角也可以看成是一條直線與端點(diǎn)在這條直線上的一條射線組成的兩個(gè)角，由此可知，鄰補(bǔ)角是有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)互補(bǔ)的角．右圖這樣的鄰補(bǔ)角在圖形中也是常見的．在這種情況下，只存在一對鄰補(bǔ)角，而不存在對頂角，與兩條直線相交所得的角不同．
教師演示：圖中射線OC固定在一個(gè)位置不動，把∠1和∠2拉開，并且保持角的大小不變，如右圖（投影片3）．
提出問題：∠l和∠2的和是多少度？∠l和∠2還是鄰補(bǔ)角嗎？為什么？
學(xué)生活動：觀察圖形的變換，回答教師提出的問題，同桌可相互討論．
【教法說明】此問題意在區(qū)別互為補(bǔ)角和互為鄰補(bǔ)角的概念，演示活動投影片，有助于學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，比教師單純地強(qiáng)調(diào)效果更好．
2．對頂角的性質(zhì)
提出問題：我們在圖形中能準(zhǔn)確地辨認(rèn)對頂角，那么對頂角有什么性質(zhì)呢？
學(xué)生活動：學(xué)生以小組為單位展開討論，選代表發(fā)言，井口答為什么．
【教法說明】學(xué)生說出對頂角∠l＝∠3后，啟發(fā)學(xué)生再說出∠2＝∠4，然后得出對頂角相等的性質(zhì)．在學(xué)生理解推理思路的基礎(chǔ)上，板書為幾何符號推理的格式．對頂角的性質(zhì)不難得出，放手讓學(xué)生展開討論，充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，在活躍課堂氣氛的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力
【板書】∵∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠2互補(bǔ)（鄰補(bǔ)角定義），
∴∠l＝∠3（同角的補(bǔ)角相等）．
注意：∠l與∠2互補(bǔ)不是給出的已知條件，而是分析圖形得到的；所以括號內(nèi)不填已知，而填鄰補(bǔ)角定義．
或?qū)懗桑骸摺?＝ 180°－∠2，∠3＝180°－∠2（鄰補(bǔ)角定義），
∴∠1＝∠3（等量代換）．
【教法說明】推得“對頂角相等”這個(gè)結(jié)論的過程，是課本中初次出現(xiàn)的一步推理，使學(xué)生了解推理可以寫成“∵……∴……”的形式，并且每一步都要有根據(jù)，也就是括號里填的理由．這種推理的格式以后還要逐步滲透和訓(xùn)練，現(xiàn)在不要求自己會寫推理過程，只要求學(xué)生能看明白就可以了，為以后證明打好基礎(chǔ)。
嘗試反饋，鞏固練習(xí)
投影顯示（投影片4）
【教法說明】本級統(tǒng)習(xí)是鞏固對頂角和鄰補(bǔ)角概念的，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力．第1題是課本第59頁練習(xí)第2題的變式，第2題是課本第59頁練習(xí)第3題和“想一想”的綜合．解決這類題目的關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形．對頂角、鄰補(bǔ)角的基本圖形是兩條直線相交，則三條直線相交的圖形應(yīng)分解為三個(gè)兩條直線交于一點(diǎn)的圖形．如：
為此，對頂角有 2×3＝6個(gè)，鄰補(bǔ)角的對數(shù)為 4×3＝12個(gè)．第3、4題是有關(guān)的概念的綜合訓(xùn)練，其中第4題意在區(qū)別互為補(bǔ)角和互為鄰補(bǔ)角的概念．
投影顯示（投影片5）
【教法說明】第1題是直接利用對頂角相等的性質(zhì)得出，第2、3題是結(jié)合圖形利用對頂角相等的性質(zhì)，第4題是課本59負(fù)練習(xí)第4題，是兩條直線相交的一種特殊情況，為下節(jié)課講兩直線互相垂直埋下伏筆．
變式訓(xùn)練，培養(yǎng)能力
投影顯示（投影片6）
學(xué)生活動：例題比較簡單，教師不做任何提示，讓學(xué)生在練習(xí)本上獨(dú)立完成解題過程，請一個(gè)學(xué)生板演。
解：∠3＝∠1＝40°（對頂角相等）．
∠2＝180°－40°＝140°（鄰補(bǔ)角定義）．
∠4＝∠2＝140°（對頂角相等）．
【教法說明】例題一方面鞏固了對頂角的性質(zhì)；另一方面說明幾何里的計(jì)算題，需要用到圖形的幾何性質(zhì)，因此，要有根有據(jù)地計(jì)算．例題放手讓學(xué)生自己解決，比教師單純地講解效果會更好．盡管學(xué)生書寫格式不如課本上的規(guī)范，但通過集體講評糾正后，學(xué)生印象更深刻．
學(xué)生活動：讓學(xué)生把例題中∠1＝40°這個(gè)條件換成其他條件，而結(jié)論不變，自編幾道題．
變式1：把∠l＝40°變?yōu)椤?－∠1＝40°
變式 2：把∠1＝40°變?yōu)椤?是∠l的3倍
變式3：把∠1＝40°變?yōu)椤? ：∠2＝2：9
變式4：把∠1＝40°變?yōu)椤?＝平角
【教法說明】學(xué)生自編開放性的題目，一是活躍課堂氣氛；二是培養(yǎng)學(xué)生的開放思維能力和逆向思維能力．變式1、2、3均可建立方程或方程組求解，幾何中計(jì)算角度和線段長度等問題常借助代數(shù)方程來解決．
（四）總結(jié)、擴(kuò)展
角的名稱
特征
性質(zhì)
相同點(diǎn)
不同點(diǎn)
對頂角
①兩條直線相交面成的角
②有一個(gè)公共頂點(diǎn)
③沒有公共邊
對頂角相等
都是兩直線相交而成的角，都有一個(gè)公共頂點(diǎn)，它們都是成對出現(xiàn)。
對頂角沒有公共邊而鄰補(bǔ)角有一條公共邊；兩條直線相交時(shí)，一個(gè)有的對頂角有一個(gè)，而一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)。
鄰補(bǔ)角
①兩條直線相交面成的角
②有一個(gè)公共頂點(diǎn)
③有一條公共邊
鄰補(bǔ)角互補(bǔ)
學(xué)生活動：表格中的結(jié)論均由學(xué)生自己口答填出．
【教法說明】課堂小結(jié)以提問形式，由學(xué)生自己討論，系統(tǒng)歸納總結(jié)，以便培養(yǎng)學(xué)生的概括表達(dá)能力．
八、布置作業(yè)
（一）必做題
課本第69頁習(xí)題 2.1A組第2題．
（二）思考題
課本第70頁習(xí)題2.1A組第4題
【教法說明】作業(yè) 緊緊圍繞著對頂角、鄰補(bǔ)角的概念及對頂角性質(zhì)．思考題是對頂角性質(zhì)的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例，結(jié)合圖形可以看出，活動指針的讀數(shù)，就是兩直線相交成一個(gè)角的度數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識．
（三）作業(yè) 答案
2．解：（1）∠AOD的對頂角是∠BOC，∠EOC的對頂角是∠DOF．
（2）∠AOC的鄰補(bǔ)角是∠AOD和∠BOC，∠EOB的鄰補(bǔ)角是∠AOE和∠BOF.
（3）∠BOD＝∠AOC＝50°（對頂角相等），∠BOC＝180°－50＝130°（鄰補(bǔ)角定義）．
4．應(yīng)用對頂角相等的性質(zhì)測量角．
九、板書設(shè)計(jì)
數(shù)學(xué)教案－相交線、對頂角
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