對口算算理、算法教學(xué)上的認(rèn)識

12月21日"口算技能的訓(xùn)練是學(xué)好其他的基礎(chǔ)"一文已經(jīng)說過作為口算能力來說，它對學(xué)生基本的運算能力、觀察力、思維能力、快速反應(yīng)能力有大意義，值得探討和研究，那么如何認(rèn)識口算的價值呢?先來看看算理與算法的認(rèn)識。

什么叫算理?什么叫算法?這是進(jìn)行口算教學(xué)必須首先搞明白的問題。算理就是計算過程中的道理，解決"為什么這樣算"的問題。算法就是計算的方法，解決"怎樣算"的問題。如何認(rèn)識口算中算理與算法的關(guān)系。

一、算理內(nèi)隱，算法外化

對于小學(xué)生的口算來說，核心的內(nèi)容是基本口算。所謂基本口算主要指20以內(nèi)加減法和表內(nèi)乘除法。除了這些基本口算，要求學(xué)生掌握的還有簡單的兩位數(shù)加、減法及百以內(nèi)的乘加、乘減、除加、除減等；在小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則計算中，也有相當(dāng)數(shù)量的口算內(nèi)容。那學(xué)生在學(xué)習(xí)這些口算時，是否都是理解算理、掌握算法，并在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法的呢?

先從最簡單的加法說起。3+2，怎樣算?為什么這樣算?就這兩個問題許多老師沒法解釋，甚至連大學(xué)教授、小學(xué)數(shù)學(xué)教研員可能也沒能做出解釋。其實不難發(fā)現(xiàn)，我們往往脫口而出3加2等于5，我們的策略是"直接提取"，也就是說，3加2等于5，我們成人已經(jīng)形成了"計算自動化"，在我們的頭腦中已經(jīng)有了現(xiàn)成的答案.我們可以迅速地從長期記憶中提取有關(guān)數(shù)學(xué)事實。

那我們在一年級教學(xué)時，又是如何處理3+2的呢?一種常見的教法是借用數(shù)的組成想得數(shù)，即想：5可以分成3和2，3加2等于5。毋庸置疑，一段時間之后，學(xué)生在算"3+2"時也都形成了"計算自動化"，3+2等于5，都儲存于記憶中。這時，算法已經(jīng)脫胎于算理。學(xué)生學(xué)習(xí)基本口算就是在頭腦中構(gòu)建一個"數(shù)學(xué)事實庫"的過程，繼而完成從構(gòu)建事實到提取事實的轉(zhuǎn)化。

我們是否可以這樣理解：最初，學(xué)生在口算時，可能有算法而不知算理；后來，知算法而且知算理；再后來，又是有算法無算理。也就是說，在學(xué)生學(xué)習(xí)口算探索與掌握算法的不同時段，他們計算時是否具有算理，經(jīng)歷了"無--有--無"這樣一個過程。

由此推想，不同的口算內(nèi)容，算法與算理是否也表現(xiàn)出像這樣脫離、融合、脫胎的不同階段之分呢?

在口算教學(xué)時，學(xué)生不理解算理，教師需要引導(dǎo)，否則學(xué)生的計算只是停留于形式化地計算，他們只是機械地掌握計算程序，知其然，而不知所以然；但理解算理之后，教師卻不要太多地糾纏于算理。

二、算理穩(wěn)定算法多樣

在學(xué)習(xí)口算兩位數(shù)減兩位數(shù)44-25時，學(xué)生獨立思考之后交流了各自算法。

算法1：44-5=39，39-20=19--把減數(shù)分成5和20，從被減數(shù)中依次減去。

算法2：40-25=15，15+4=19--把被減數(shù)分成40和4，先從40里減去25，再把所得的差與4合并。

算法3：40-20=20，5-4=1，20-1=19--個位上4減5不夠減，還差1，就從十位上減得的差20里去掉1。

算法4：44-24=20，20-1=19--把減數(shù)分成24和1，再從被減數(shù)中依次減去。

算法5：30-25=5，14+5=19--把被減數(shù)分成30和14，從30里減去25得5，再把14和5合并。

算法6：14-5=9，30-20=10，10+9=19--豎式計算

算法7：十位上，30-20=10；個位上，14-5=9；得數(shù)是19--先算十位，再算個位。算法多樣化是學(xué)生獨立思考后自然生成的。

細(xì)細(xì)分析各種算法，算法1和算法4的算理是一樣的，都是把減數(shù)分成兩部分，從被減數(shù)中分別減去；算法2和算法5的算理是一樣的，都是把被減數(shù)分成兩部分，其中一部分減去減數(shù)后再與被減數(shù)的另一部分合起來；算法6和算法7都是在頭腦中構(gòu)建豎式，算法6從個位減起，算法7從十位減起。由此可見，就算題本身來說，算法是多樣的，但算理可能相同。

再說一例。學(xué)習(xí)小數(shù)乘法，一組口算練習(xí)之后，反饋時發(fā)現(xiàn)，有幾位學(xué)生在口算20×0.4這一題時出錯了。教師指名一位學(xué)生口述算法：先算20乘4等于80，再點小數(shù)點：8.0，化簡得8。學(xué)生采用的是"類似筆算的口算"，即在頭腦中想20×0.4的豎式并算出得數(shù)。教師在學(xué)生口述算法的過程中板書(略)教師如上板書，是讓學(xué)生理解其算法的算理，即應(yīng)用了乘法中因數(shù)變化引起積變化的規(guī)律進(jìn)行口算。一位學(xué)生舉手：我是這樣算的：20×0.4=2×4=8。教師追問：你為什么這樣算呢?學(xué)生回答：20×0.4=2×l0×0.4=2×4=8。不難發(fā)現(xiàn)，這位學(xué)生交流的是"分解因數(shù)、運用乘法結(jié)合律"的方法進(jìn)行口算。又一位學(xué)生舉手：我也是這樣算的：20×0.4=2×4=8。我想的是，一個因數(shù)除以10，另一個因數(shù)乘10，積不變。如果完整寫出這位學(xué)生的算法，就是：20×0.4=(20÷10)×(0.4×10)=2×4=8。

后兩種算法，如果不去追問思維過程，我們也許會做出"算法相同、算理相同"的判斷，然而，看似相同的算法，其實算法并不同，但算理卻是相同的。當(dāng)我們看到的是"一"，也許僅僅是表面形式的相同，其內(nèi)部蘊含的可能是"多"。學(xué)生的思維過程是豐富多彩的。口算教學(xué)中，存在著的一種現(xiàn)象是，教師重結(jié)果、輕過程，只滿足于口算正確，不愿花時間去分析學(xué)生的思維過程。我們要注意克服這種不良傾向，在口算時，鼓勵學(xué)生"用你的腦子去算"，而不僅僅是"在你的腦子里算"。

三、算理保證計算合理性，算法為計算提供操作方法

對于算理與算法，學(xué)生在實際口算時往往更注重算法，因為按其操作即可算出結(jié)果。教師關(guān)注的焦點是學(xué)生要算得對、算得快，至于"為什么這樣算"，往往不夠重視。那算理是"有用"還是"無用"呢?

口算整百數(shù)乘一位數(shù)400×2，學(xué)生一般的算法是：先算4×2=8，再在8的后面添兩個0。為什么在8后面添兩個0，學(xué)生解釋不清楚。教學(xué)時，教師要讓學(xué)生給自己的算法找一個合理的解釋，在學(xué)生解釋的過程中引導(dǎo)學(xué)生理解：4個百乘2，得8個百，也就是800。由此，學(xué)生可進(jìn)一步在理解算理的基礎(chǔ)上計算像4000×2、40000×2這樣的算題，而不停留于"照葫蘆畫瓢"式的模仿計算。

可以發(fā)現(xiàn)，如果他們理解了算理，那么他們基本上就能正確算出算題。算理有助于學(xué)生探索算法。有算法時，不一定能說清算理；但有算理，可以轉(zhuǎn)化成算法。

綜上所述，算理不是沒有用，而是教師在教學(xué)中是否發(fā)揮其作用。不要把算理、算法作為"兩張皮"。算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度。算理往往是隱性的，算法往往是顯性的，它們相輔相成，算理的探討有助于學(xué)生探索算法、掌握算法。當(dāng)然，在口算學(xué)習(xí)過程中，也要注意避免程式化地敘述算理，對算理的一味推崇容易讓學(xué)生陷入空洞抽象說教的泥潭，不過，對算法的過度操練也容易讓學(xué)生走向機械重復(fù)練習(xí)的誤區(qū)。

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