尋求算理與算法的平衡--以異分母分?jǐn)?shù)加減法教學(xué)為例

分?jǐn)?shù)知識的學(xué)習(xí)歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，而異分母分?jǐn)?shù)加、減法是正數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于加減法的一次終結(jié)，也是學(xué)生由直觀思維走向抽象思維的重要一步。如果說前面學(xué)習(xí)的整數(shù)加、減法以及小數(shù)加、減法還可以依靠比較直觀的計(jì)數(shù)單位，學(xué)生還能理解相同計(jì)數(shù)單位相加的算理，而在異分母分?jǐn)?shù)加、減法里，直觀的計(jì)數(shù)單位隱去了，只留下了相對抽象的分?jǐn)?shù)單位。分?jǐn)?shù)單位又不像其他計(jì)數(shù)單位那樣單純具有規(guī)律性，而且分?jǐn)?shù)單位的數(shù)量也是無限的�；�于此，我們必須深刻理解加、減法運(yùn)算的算理本質(zhì)--只有相同的計(jì)數(shù)單位才可以進(jìn)行加、減法運(yùn)算，這也就成了這部分內(nèi)容的基本出發(fā)點(diǎn)。

本單元主要學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算及其應(yīng)用。其中，第80~82頁教學(xué)兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加或相減，重點(diǎn)是異分母分?jǐn)?shù)的加、減法；第83~85頁教學(xué)三個(gè)分?jǐn)?shù)的加、減計(jì)算，積累一些計(jì)算經(jīng)驗(yàn)。本課的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加法和減法的算理，即先通分再計(jì)算，以符合相同計(jì)數(shù)單位相加、減的基本原理。教學(xué)難點(diǎn)是理解通分的必要性。

本期呈現(xiàn)了吳梅香和馮玉新老師的兩篇教學(xué)設(shè)計(jì)與說明。兩位老師都能比較好地理解教材的編排意圖，依據(jù)知識的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，精心設(shè)計(jì)與教學(xué)，他們的共同特點(diǎn)是--尋求算理與算法的平衡。

1.充分發(fā)揮知識遷移作用。心理學(xué)家奧蘇伯爾曾說過：影響學(xué)生學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素是--學(xué)生已經(jīng)知道了什么。影響學(xué)生學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加、減法的已有知識有很多，其中最重要的是兩點(diǎn)：一是相同計(jì)數(shù)單位相加減的原理，二是通分的概念。為幫助學(xué)生順利完成知識的遷移，兩位老師都注重尋找學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中可利用的相關(guān)舊知，如吳老師通過復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義結(jié)合問題情境讓學(xué)生選擇兩個(gè)分?jǐn)?shù)求和，學(xué)生列式并計(jì)算了15+25=35和49+19=59；馮老師通過現(xiàn)實(shí)的問題情境讓學(xué)生計(jì)算經(jīng)過汽車南站到南岸景觀園的線路所用時(shí)間，學(xué)生列出了+==。此處再現(xiàn)同分母分?jǐn)?shù)加法，有利于激活學(xué)生相關(guān)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生進(jìn)一步探索異分母分?jǐn)?shù)加、減做好了準(zhǔn)備。

2.在數(shù)形結(jié)合中理解算理。數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。本課所學(xué)知識對小學(xué)生來說是比較難掌握的，異分母分?jǐn)?shù)具有不同的分?jǐn)?shù)單位，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)新知時(shí)首先遇到的挑戰(zhàn)。如何讓學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加、減的算理?兩位老師都注重讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中理解算理。吳老師在新知教學(xué)時(shí)，首先讓學(xué)生自主嘗試，或動手折紙、畫圖，或抽象演算，接著組織反饋交流，讓學(xué)生初步明確算理，即都是把異分母的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母的分?jǐn)?shù)，實(shí)質(zhì)上就是統(tǒng)一了計(jì)數(shù)單位，使相同單位上的數(shù)相加，然后在練習(xí)中通過給圖形涂色、七巧板問題、特殊分?jǐn)?shù)加法圖示等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生深入理解異分母分?jǐn)?shù)加、減法的算理。而馮老師在設(shè)計(jì)新知教學(xué)時(shí)，預(yù)設(shè)了三種方案：方格紙涂色計(jì)算、化成小數(shù)計(jì)算、通分計(jì)算，然后讓學(xué)生觀察比較，找出三種計(jì)算的共同要素--相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加、減。從兩位教師的新知教學(xué)和鞏固練習(xí)中都可以發(fā)現(xiàn)，為幫助學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加、減法的算理，依據(jù)小學(xué)生形象思維為主的規(guī)律，呈現(xiàn)對應(yīng)的圖形，以圖形來表達(dá)分?jǐn)?shù)，以圖形來進(jìn)行運(yùn)算，以圖形來解釋算理，從而使學(xué)生在直觀形象中理解算理，發(fā)展思維。

3.做好算理到算法的過渡。算理是指四則計(jì)算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識。算法是實(shí)施四則計(jì)算的基本程序和方法，通常是算理指導(dǎo)下的一些人為規(guī)定。算理為算法提供了理論指導(dǎo)，算法使得算理具體化。學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算的過程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡便地進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算的多樣性才有基礎(chǔ)和可能。怎樣幫助學(xué)生從算理過渡到算法呢?吳老師在教學(xué)新課時(shí)，先讓學(xué)生探索討論得出了異分母分?jǐn)?shù)加法的算理，然后讓學(xué)生運(yùn)用剛剛獲得的算理遷移到異分母分?jǐn)?shù)減法，并讓學(xué)生用減法驗(yàn)算加法；在鞏固練習(xí)中則讓學(xué)生計(jì)算、比較、判斷，使得學(xué)生運(yùn)用算理指導(dǎo)算法，在算法應(yīng)用中深化理解算理。馮老師在學(xué)生初步理解了異分母分?jǐn)?shù)加法的算理之后，讓學(xué)生繼續(xù)在解決實(shí)際問題，自主探索異分母分?jǐn)?shù)減法的算理，再通過欣賞、改錯(cuò)、估計(jì)、拓展等豐富的練習(xí)，幫助學(xué)生從算理過渡到算法�？梢�，在學(xué)生初步理解算理之后，不要立即進(jìn)行抽象的算法演練，而是讓學(xué)生繼續(xù)通過操作和看圖，直觀地進(jìn)行計(jì)算，在計(jì)算中加深對算理的理解，再逐步脫離形象，形成抽象的算法，并在進(jìn)一步的鞏固和應(yīng)用中提高算法技能。

4.注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本課屬于"數(shù)與運(yùn)算"領(lǐng)域的計(jì)算技能學(xué)習(xí)課。技能是運(yùn)用知識和經(jīng)驗(yàn)去完成某一活動的方式，從廣義知識分類來看，技能屬于程序性知識。程序性知識的習(xí)得，主要是通過獲得一系列規(guī)則而形成規(guī)則系統(tǒng)，再進(jìn)一步使之自動化的過程。在學(xué)生獲得異分母分?jǐn)?shù)加、減法的規(guī)則并使之自動化的過程中，學(xué)生通過探索、遷移、應(yīng)用、提高等學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，發(fā)展思維能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。兩位老師在教學(xué)中，都注重讓學(xué)生自主探索異分母分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算方法，在對幾種不同方法的比較中讓學(xué)生獲得最一般的規(guī)則--先通分，再計(jì)算。而通過通分之后計(jì)算，把異分母分?jǐn)?shù)加、減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)計(jì)算，體現(xiàn)通分概念的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想。吳老師在練習(xí)設(shè)計(jì)中還通過計(jì)算七巧板面積、特殊分?jǐn)?shù)加法，培養(yǎng)學(xué)生的估算意識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。馮老師在教學(xué)中適時(shí)介紹古埃及的分?jǐn)?shù)運(yùn)算和歐洲的分?jǐn)?shù)運(yùn)算以及我國古代《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)運(yùn)算史料，滲透數(shù)學(xué)的文化性，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

總之，兩位老師的教學(xué)設(shè)計(jì)，都從學(xué)生的學(xué)習(xí)需要出發(fā)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，有效地尋求算理與算法之間的平衡。當(dāng)然，兩位老師在教學(xué)設(shè)計(jì)中還可以更深入理解教材的編寫意圖，更密切關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，以期取得更佳的教學(xué)效果。如，兩位老師在溝通新舊知時(shí)，還可以更關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與今天所學(xué)新知的關(guān)聯(lián)，關(guān)注知識遷移的三個(gè)要素："可利用性""清晰性"和"穩(wěn)定性"，這是影響本課學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，應(yīng)充分關(guān)注；在學(xué)生探索異分母分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，還可以更多地借助圖形直觀，幫助學(xué)生深刻理解算理，這是決定本課學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵因素，要加強(qiáng)指導(dǎo)；對于鞏固練習(xí)與解決問題，還可以再作精細(xì)的針對性和層次性考慮。

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