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中心極限定理證明
中心極限定理證明一、例子
[例1] 高爾頓釘板試驗.
圖中每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設有排釘子,從入口中處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過程中碰到釘子后以的概率滾向左邊,也以的概率滾向右邊.如果較大,可以看到許多珠子從處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示,堆成的曲線近似于正態(tài)分布.
如果定義:當?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向右邊,令;當?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向左邊,令.則是獨立的,且
那么由圖形知小珠最后的位置的分布接近正態(tài).可以想象,當越來越大時接近程度越好.由于時,.因此,顯然應考慮的是的極限分布.歷史上德莫佛第一個證明了二項分布的極限是正態(tài)分布.研究極限分布為正態(tài)分布的極限定理稱為中心極限定理.
二、中心極限定理
設是獨立隨機變量序列,假設存在,若對于任意的,成立
稱服從中心極限定理.
[例2] 設服從中心極限定理,則服從中心極限定理,其中為數(shù)列.
解:服從中心極限定理,則表明
其中.由于,因此
故服從中心極限定理.
三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理
在重貝努里試驗中,事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為為次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù),則
[例3] 用頻率估計概率時的誤差估計.
由德莫佛—拉普拉斯極限定理,
由此即得
第一類問題是已知,求,這只需查表即可.
第二類問題是已知,要使不小于某定值,應至少做多少次試驗?這時利用求出最小的.
第三類問題是已知,求.
解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,則利用,可得如下估計: .
[例4] 拋擲一枚均勻的骰子,為了至少有0.95的把握使出現(xiàn)六點的概率與之差不超過0.01,問需要拋擲多少次?
解:由例4中的第二類問題的結(jié)論,.即.查表得.將代入,便得. 由此可見,利用比利用契比曉夫不等式要準確得多.
[例5] 已知在重貝努里試驗中,事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為為次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從二項分布:
的隨機變量.求.
解:
因為很大,于是
所以
利用標準正態(tài)分布表,就可以求出的值.
[例6] 某單位內(nèi)部有260架電話分機,每個分機有0.04的時間要用外線通話,可以認為各個電話分機用不用外線是是相互獨立的,問總機要備有多少條外線才能以0.95的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.
解:以表示第個分機用不用外線,若使用,則令;否則令.則.
如果260架電話分機同時要求使用外線的分機數(shù)為,顯然有.由題意得,
查表得,,故取.于是
取最接近的整數(shù),所以總機至少有16條外線,才能有0.95以上的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.
[例7] 根據(jù)孟德爾遺傳理論,紅黃兩種番茄雜交第二代結(jié)紅果植株和結(jié)黃果植株的比率為3:1,現(xiàn)在種植雜交種400株,試求結(jié)黃果植株介于83和117之間的概率.
解:將觀察一株雜交種的果實顏色看作是一次試驗,并假定各次試驗是獨立的.在400株雜交種中結(jié)黃果的株數(shù)記為,則.
由德莫佛—拉普拉斯極限定理,有
其中,即有
四、林德貝格-勒維中心極限定理
若是獨立同分布的隨機變量序列,假設,則有
證明:設的特征函數(shù)為,則
的特征函數(shù)為
又因為,所以
于是特征函數(shù)的展開式
從而對任意固定的,有
而是分布的特征函數(shù).因此,
成立.
[例8] 在數(shù)值計算時,數(shù)用一定位的小數(shù)來近似,誤差.設是用四舍五入法得到的小數(shù)點后五位的數(shù),這時相應的誤差可以看作是上的均勻分布.
設有個數(shù),它們的近似數(shù)分別是,.,.令
用代替的誤差總和.由林德貝格——勒維定理,
以,上式右端為0.997,即以0.997的概率有
[例9] 設為獨立同分布的隨機變量序列,且互相獨立,其中,證明:的分布函數(shù)弱收斂于.
證明:為獨立同分布的隨機變量序列,且互相獨立,所以仍是獨立同分布的隨機變量序列,易知有
由林德貝格——勒維中心極限定理,知的分布函數(shù)弱收斂于,結(jié)論得證.
作業(yè):
P222 EX 32,33,34,35
五、林德貝爾格條件
設為獨立隨機變量序列,又
令,對于標準化了的獨立隨機變量和
的分布
當時,是否會收斂于分布?
[例10] 除以外,其余的均恒等于零,于是.這時就是的分布函數(shù).如果不是正態(tài)分布,那么取極限后,分布的極限也就不會是正態(tài)分布了.因而,為了使得成立,還應該對隨機變量序列加上一些條件.從例題中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一項是起突出作用.由此認為,在一般情形下,要使得收斂于分布,在的所有加項中不應該有這種起突出作用的加項.因為考慮加項個數(shù)的情況,也就意味著它們都要“均勻地斜.
設是獨立隨機變量序列,又,,這時
(1)若是連續(xù)型隨機變量,密度函數(shù)為,如果對任意的,有
(2)若是離散型隨機變量,的分布列為
如果對于任意的,有
則稱滿足林德貝爾格條件.
[例11] 以連續(xù)型情形為例,驗證:林德貝爾格條件保證每個加項是“均勻地斜.
證明: 令,則
于是
從而對任意的,若林德貝爾格條件成立,就有
這個關系式表明, 的每一個加項中最大的項大于的概率要小于零,這就意味著所有加項是“均勻地斜.
六、費勒條件
設是獨立隨機變量序列,又,,稱條件為費勒條件.
林德貝爾格證明了林德貝爾格條件是中心極限定理成立的充分條件,但不是必要條件.費勒指出若費勒條件得到滿足,則林德貝爾格條件也是中心極限定理成立的必要條件.
七、林德貝爾格-費勒中心極限定理
引理1 對及任意的,
證明:記,設,由于
因此, ,其次,對,
用歸納法即得.
由于,因此,對也成立.
引理2 對于任意滿足及的復數(shù),有
證明:顯然
因此,
由歸納法可證結(jié)論成立.
引理3 若是特征函數(shù),則也是特征函數(shù),特別地
證明 定義隨機變量
其中相互獨立,均有特征函數(shù),服從參數(shù)的普哇松分布,且與諸 獨立,不難驗證的特征函數(shù)為,由特征函數(shù)的性質(zhì)即知 成立.
林德貝爾格-費勒定理
定理 設為獨立隨機變量序列,又 .令 ,則
(1)
與費勒條件成立的充要條件是林德貝爾格條件成立.
證明:(1)準備部分
記
(2)
顯然(3)
(4)
以及分別表示的特征函數(shù)與分布函數(shù),表示的分布函數(shù),那么 (5)
這時
因此林德貝爾格條件化為:對任意,
(6)
現(xiàn)在開始證明定理.設是任意固定的實數(shù).
為證(1)式必須證明
(7)
先證明,在費勒條件成立的假定下,(7)與下式是等價的:
(8)
事實上,由(3)知,又因為
故對一切,
把在原點附近展開,得到
因若費勒條件成立,則對任意的,只要充分大,均有
(9)
這時
(10)
對任意的,只要充分小,就可以有
(11)
因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有
(12)
因為可以任意小,故左邊趨于0,因此,證得(7)與(8)的等價性.
(2)充分性
先證由林德貝爾格條件可以推出費勒條件.事實上,
(13)
右邊與無關,而且可選得任意小;對選定的,由林德貝爾格條件(6)知道第二式當足夠大時,也可以任意地小,這樣,費勒條件成立.
其次證明林德貝爾格條件能保證(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,
當時,
當時,
因此
(14)
對任給的,由于的任意性,可選得使,對選定的,用林德貝爾格條件知只要充分大,也可使.因此,已證得了(8),但由于已證過費勒條件成立,這時(8)與(7)是等價的,因而(7)也成立.
(3)必要性
由于(1)成立,因此相應的特征函數(shù)應滿足(7).但在費勒條件成立時,這又推出了(8),因此,
(15)
上述被積函數(shù)的實部非負,故
而且
(16)
因為對任意的,可找到,使,這時由(15),(16)可得
故林德貝爾格條件成立.
八、李雅普諾夫定理
設為獨立隨機變量序列,又.令,若存在,使有
則對于任意的,有
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