初二幾何證明題

1.

已知：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E。M為AB中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)ME,MD、ED

求證：角EMD=2角DAC

證明：

∵M(jìn)為AB邊的中點(diǎn)，AD⊥BC， BE⊥AC，∴ MD=ME=MA=MB(斜邊上的中線=斜邊的一半)∴△MED為等腰三角形∵M(jìn)E=MA

∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵M(jìn)D=MA

∴∠MAD=∠MDA, ∴∠BMD=2∠MAD, ∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC

2.

如圖，已知四邊形ABCD中，AD=BC,E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，AD、 BC的延長線與EF的延長線交于點(diǎn)H、D

求證：∠AHE=∠BGE

證明：連接AC，作EM‖AD交AC于M，連接MF.如下圖：

∵E是CD的中點(diǎn)，且EM‖AD，

∴EM=1/2AD，M是AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镕是AB的中點(diǎn)

∴MF‖BC，且MF=1/2BC.

∵AD=BC，

∴EM=MF，三角形MEF為等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.

∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF

∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF

∴∠AHF=∠BGF.

3.

寫出“等腰三角形兩底角的平分線相等”的逆命題，并證明它是一個(gè)真命題

這是經(jīng)典問題,證明方法有很多種,對(duì)于初二而言,

下面的反證法應(yīng)該可以接受

如圖,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求證:AB=AC

證明:

BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)

==>BE=AB*BC/(BC+AC)

同理:CD=AC*BC/(BC+AB)

假設(shè)AB≠AC,不妨設(shè)AB>AC.....(*)

AB>AC==>BC+ACAC*BC

==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)

==>BE>CD

AB>AC==>∠ACB>∠ABC

∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/2

==>∠BEC>∠BDC

過B作CE平行線,過C作AB平行線,交于F,連DF

則BECF為平行四邊形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC.....(1)

BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFD

CF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD

==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC...(2)

(1)(2)矛盾,從而假設(shè)(*)不成立

所以AB=AC。

2、

兩地角的平分線相等，為等腰三角形

作三角形ABC,CD,BE為角C,B的角平分線，交于AB,BE.兩平分線交點(diǎn)為O

連結(jié)DE,即DE平行BC，所以三角形DOC與COB相似。

有DO/DC=EO/EB,又EB=DC所以DO=EO,三角形COB為等腰

又角ODE=OCB=OED=OBC

又因?yàn)锽E和DC是叫平分線，所以容易得出角C=角B(這個(gè)打出來太麻煩了)，即ABC為等腰。

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