數(shù)學(xué)教案－和圓有關(guān)的比例線段

教學(xué)建議

1、教材分析

（1）知識結(jié)構(gòu)

 

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理．這些定理和推論不但是本節(jié)的重點(diǎn)、本章的重點(diǎn)，而且還是中考試題的熱點(diǎn)；這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應(yīng)用與圓有關(guān)的計算和證明．

難點(diǎn)：正確地寫出定理中的等積式．因為圖形中的線段較多，學(xué)生容易混淆．

2、教學(xué)建議

本節(jié)內(nèi)容需要三個課時．第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2．第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3．第3課時是習(xí)題課，講例4并做有關(guān)的練3．

（1）教師通過教學(xué)，組織學(xué)生自主觀察、發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題，逐步培養(yǎng)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；

（2）在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”等學(xué)習(xí)，教師組織下，以學(xué)生為主體開展教學(xué)活動．

第1課時：相交弦定理

教學(xué)目標(biāo) ：

1．理解相交弦定理及其推論，并初步會運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡單證明和計算；

2．學(xué)會作兩條已知線段的比例中項；

3．通過讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，調(diào)動學(xué)生的思維積極性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力和探索精神；

4．通過推論的推導(dǎo)，向?qū)W生滲透由一般到特殊的思想方法．

教學(xué)重點(diǎn)：

正確理解相交弦定理及其推論．

教學(xué)難點(diǎn) ：

在定理的敘述和應(yīng)用時，學(xué)生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導(dǎo)致證明中發(fā)生錯誤，因此務(wù)必使學(xué)生清楚定理的提出和證明過程，了解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應(yīng)邊成比例的結(jié)論直接寫出定理．

教學(xué)活動設(shè)計

（一）設(shè)置學(xué)習(xí)情境

1、圖形變換：（利用電腦使AB與CD弦變動）

①引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∠A＝∠D，∠C＝∠B．

②進(jìn)一步得出：△APC∽△DPB．

．

③如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段 PA，PB，PC，PO之間的關(guān)系會發(fā)生變化嗎?為什么?

組織學(xué)生觀察，并回答．

2、證明：

已知：弦AB和CD交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P．

求證：PA·PB＝PC·PD．

（A層學(xué)生要訓(xùn)練學(xué)生寫出已知、求證、證明；B、C層學(xué)生在老師引導(dǎo)下完成）

（證明略）

（二）定理及推論

1、相交弦定理： 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．

結(jié)合圖形讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于點(diǎn)P，那么PA·PB＝PC·PD．

2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結(jié)論．

對兩條相交弦的位置進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，并且AB⊥CD于P．

提問：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結(jié)論?

指出：PC2＝PA·PB．

請學(xué)生用文字語言將這一結(jié)論敘述出來，如果敘述不完全、不準(zhǔn)確．教師糾正，并板書．

推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項．

3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱圖形，上述結(jié)論又可敘述為：半圓上一點(diǎn)C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC2＝PA·PB． 

若再連結(jié)AC，BC，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：

PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB

（三）應(yīng)用、反思

例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長為32厘米，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長．

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出方程并求出相應(yīng)的解．

例2  已知：線段a，b．

求作：線段c，使c2＝ab．

分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導(dǎo)學(xué)生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段．

作法：口述作法．

反思：這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當(dāng)作基本作圖加以應(yīng)用．同時可啟發(fā)學(xué)生考慮通過其它途徑完成作圖．

練習(xí)1 如圖，AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP＝1厘米，求CD．

變式練習(xí)：若AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP，DP的長度皆為整數(shù)．那么CD的長度是 多少?

將條件隱化，增加難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

練習(xí)2 如圖，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，垂足為P，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求PO的長．

練習(xí)3  如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點(diǎn)，OP⊥PC，PC 交⊙O于C．  求證：PC2＝PA·PB 

引導(dǎo)學(xué)生分析：由AP·PB，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB．又根據(jù)條件OP⊥PC．易 證得PC＝PD問題得證．

（四）小結(jié)

知識：相交弦定理及其推論；

能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問題的能力和解決問題的能力；

思想方法：學(xué)習(xí)了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法．

（五）作業(yè) 

教材P132中 9，10；P134中B組4(1)．

第2課時 切割線定理

教學(xué)目標(biāo) ：

1．掌握切割線定理及其推論，并初步學(xué)會運(yùn)用它們進(jìn)行計算和證明；

2．掌握構(gòu)造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養(yǎng)學(xué)生從幾何圖形歸納出幾何性質(zhì)的能力

3．能夠用運(yùn)動的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)切割線定理及其推論，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的觀點(diǎn)．

教學(xué)重點(diǎn)：

理解切割線定理及其推論，它是以后學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的重要定理．

教學(xué)難點(diǎn) ：

定理的靈活運(yùn)用以及定理與推論問的內(nèi)在聯(lián)系是難點(diǎn)．

教學(xué)活動設(shè)計

（一）提出問題

1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)．如果兩弦延長交于圓外一點(diǎn)P，那么該點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的四條線段PA，PB，PC，PD的長之間有什么關(guān)系？(如圖1)

當(dāng)其中一條割線繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與圓的兩交點(diǎn)重合為一點(diǎn)(如圖2)時，由圓外這點(diǎn)到割線與圓的兩交點(diǎn)的兩條線段長和該點(diǎn)的切線長PA，PB，PT之間又有什么關(guān)系？

2、猜想：引導(dǎo)學(xué)生猜想出圖中三條線段PT，PA，PB間的關(guān)系為PT2=PA·PB．

3、證明：

讓學(xué)生根據(jù)圖2寫出已知、求證，并進(jìn)行分析、證明猜想．

分析：要證PT2=PA·PB，  可以證明，為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線TP，PB．(圖3)．容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是問題可證．

 4、引導(dǎo)學(xué)生用語言表達(dá)上述結(jié)論．

切割線定理  從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項．

（二）切割線定理的推論

1、再提出問題：當(dāng)PB、PD為兩條割線時，線段PA，PB，PC，PD之間有什么關(guān)系?

觀察圖4，提出猜想：PA·PB=PC·PD．

2、組織學(xué)生用多種方法證明：

方法一：要證PA·PB=PC·PD，可證此可證以PA，PC為邊的三角形和以PD，PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AC，BD，容易證明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB．  (如圖4)

方法二：要證，還可考慮證明以PA，PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AD、CB．容易證明∠B=∠D，又∠P=∠P．  因此△PAD∽△PCB．(如圖5)

方法三：引導(dǎo)學(xué)生再次觀察圖2，立即會發(fā)現(xiàn)．PT2=PA·PB，同時PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD．PA·PB=PC·PD

推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等．（也叫做割線定理）

（三）初步應(yīng)用

例1  已知：如圖6，⊙O的割線PAB交⊙O于點(diǎn)A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半徑．

分析：由于PO既不是⊙O的切線也不是割線，故須將PO延長交⊙O于D，構(gòu)成了圓的一條割線，而OD又恰好是⊙O的半徑，于是運(yùn)用切割線定理的推論，問題得解．

（解略）教師示范解題．

 例2  已知如圖7，線段AB和⊙O交于點(diǎn)C，D，AC＝BD，AE，BF分別切⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，

求證：AE＝BF．

分析：要證明的兩條線段AE，BF均與⊙O相切，且從A、B 兩點(diǎn)出發(fā)引的割線ACD和BDC在同一直線上，且AC＝BD，AD＝BC．  因此它們的積相等，問題得證．

學(xué)生自主完成，教師隨時糾正學(xué)生解題過程中出現(xiàn)的錯誤，如AE2＝AC·CD和BF2＝BD·DC等．

鞏固練習(xí)：P128練習(xí)1、2題  

（四）小結(jié)

知識：切割線定理及推論；

能力：結(jié)合具體圖形時，應(yīng)能寫出正確的等積式；

方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構(gòu)造相似三角形的方法十分重要，應(yīng)注意很好地掌握．

（五）作業(yè) 教材P132中，11、12題．

探究活動

最佳射門位置

國際足聯(lián)規(guī)定法國世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米)．

分析與解 如圖1所示．AB是足球門，點(diǎn)P是邊鋒所在的位置．最佳射門位置應(yīng)是使球員對足球門視角最大的位置，即向P上方或下方移動，視角都變小，因此點(diǎn)P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點(diǎn)，如圖1所示．即OP是圓的切線，而OB是圓的割線．

故 ，又 ，

OB=30.34+7.32＝37.66．

OP=(米)．

注：上述解法適用于更一般情形．如圖2所示．△BOP可為任意角．

數(shù)學(xué)教案－和圓有關(guān)的比例線段

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